巧变形,快求解

2012-04-29 06:16程军
数学学习与研究 2012年6期
关键词:外角平分线交点

程军

“三角形的内角和等于180°”,“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”,掌握三角形外角及内角和公式是解决有关三角形问题的关键,而要快捷且正确地解答三角形中有关角的求解与证明,就必须熟练地进行有关变形. 现举例如下.

例1 △ABC中,若∠A - 2∠B + ∠C = 0°,则∠B的度数是 ( ).

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

解 在△ABC中,有∠A+∠B+∠C = 180°,可适当变形为∠A + ∠C = 180° - ∠B,而条件∠A - 2∠B + ∠C = 0°,也可变形为∠A + ∠C = 2∠B,所以可知180° - ∠B = 2∠B,解此方程即可得到∠B = 60°.

例2 如图1,△ABC中,点D为边AC上的一点,∠ABD = ∠ADB,求证:∠DBC = .

解 在△ABC中,有∠A + ∠ABC + ∠C = 180°……①,

在△ABD中,有∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°……②,

已知∠ABD = ∠ADB,

可将②式变形为∠A + 2∠ADB = 180°……③,

又因为∠ADB 是△BCD的一个外角,

所以∠ADB = ∠C + ∠DBC ,代入③式,②式最终变形为∠A + 2(∠C + ∠DBC) = 180°……④,

用④ - ①,可得2(∠C + ∠DBC) - ∠ABC - ∠C = 0°,

即2(∠C + ∠DBC) = ∠ABC + ∠C,整理后,即得

∠DBC = .

例3 已知△ABC,(1)如图2,若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P = 90° + ∠A;

(2)如图2,若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P = 90° - ∠A;

(3)如图3,若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P = 90° - ∠A.上述说法中正确的个数是 ( ).

A. 0B. 1C. 2D. 3

解 (1)在△BPC中,∠P = 180° - ∠PBC - ∠PCB(三角形内角和),而∠PBC = ∠ABC,∠PCB = ∠ACB,

所以∠P = 180° - (∠ABC + ∠ACB),

而在△ABC中,有∠A + ∠ABC+∠ACB = 180°,

适当变形为∠A+ ∠ABC + ∠ACB = 90°,

得到∠ABC + ∠ACB = 90° - ∠A,

所以∠P = 180° - (∠ABC + ∠ACB) =

180° - (90° - ∠A) = 90° + ∠A.

(2)在ABPC构成的“8字型”中,存在这样的关系:∠A + ∠ABP = ∠P + ∠PCA……①,

∠ABP = ∠ABC(BP为角平分线)……②,

∠PCA = ∠ACE(PC为角平分线),

而∠ACE = ∠A + ∠ABC(∠ACE为外角),

所以∠PCA = (∠A + ∠ABC)……③,

将②和③代入①,即得

∠A + ∠ABC = ∠P + (∠A +∠ABC),

整理,得∠P = ∠A.

(3)在△BPC中,由三角形内角和知,

∠P + ∠PBC + ∠PCB = 180°……①,

由(2)的解题过程知,

∠CBF = ∠A + ∠ACB(∠CBF为外角),

∠BCE = ∠A+∠ABC(∠BCE为外角),

∠PBC = ∠CBF(BP为角平分线) =

(∠A + ∠ACB)……②,

∠PCB = ∠BCE(CP为角平分线) =

(∠A + ∠ABC)……③,

将②和③代入①,即得

∠P + (∠A + ∠ACB) + (∠A + ∠ABC) = 180°,

去括号,得

∠P + ∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC = 180°……④,

而在△ABC中,有∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,

所以∠A + ∠ACB + ∠ABC = 90°,

将其代入④式,得

∠P + ∠A + 90° = 180°,

整理,得∠P = 90° -∠A.

因此答案为C.

熟练掌握三角形外角及内角和公式的变形可以使很多问题得到更加简便的解决,而要熟练掌握就要求同学们多加练习和总结,学会举一反三,融会贯通,这样方能在解决新问题时游刃有余,思路清晰.

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