向量代表三角形的“心”

周珂

向量是代数与几何的主要桥梁，这种联系不仅体现在平面直角坐标系中点的坐标与向量的坐标之间的对应关系，还体现在向量表达式和向量的几何意义与平面几何中三角形的“心”之间的密切联系.

一、重心

例1已知O是△ABC的重心，求证：OA+OB+OC=0.

解如图，由已知，O是△ABC的重心，连接AO，BO，CO，使它们的延长线与BC，CA，AB分别交于点D，E，F.

二、内心

例4O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈［0,+∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的（）.

A蓖庑

B蹦谛

C敝匦

D贝剐

解如图(1)，作向量AP，则

由向量加法得OP=OA+AP.①

由已知可知，OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.②

由①②可知AP=λAB|AB|+AC|AC|.③

如图(2)，③式中，AB|AB|，AC|AC|都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作鰽B1P1C1，这时鰽B1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且

AB1=AB|AB|，④

AC1=AC|AC|.⑤

由③④⑤可知AP=λAP1.

再由λ∈［0,+∞)可知，P点的轨迹是射线AP，

∴P点的轨迹一定通过△ABC的内心.选B.

例5（1）设△ABC是任意三角形，AD，BE，CF分别为其内角∠A,∠B,∠C的平分线，求证：AD，BE，CF交于一点G.

（2）设△ABC的三个项点A，B，C的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，A，B，C的对边的长分别为a，b，c，根据第(1)小题的结果，写出△ABC的内心G的坐标(x，y).

解（1）由于本题难度很大，所以，我们采用一题三图的方式给出解答，以免字母混乱的现象发生，三个图如图所示.在题目的证明之前，我们先说明一个问题：

OP=11+λOP1+λ1+λOP2中，11+λ+λ1+λ=1.

∴OP总可以写成以下的形式：OP=xOP1+(1-x)OP2，OP=yOP1+(1-y)OP2，等等.