一道错题的错解分析

彭海雄

（广东省惠州市仲恺中学516229）

原题已知偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)=-f(x+1)，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，则f(125)等于（）.

A2

B3

C4

D5

解法回顾

解法1由f(x)=-f(x+1)，可知

f(x)=-f(x+1)=-［-f(x+2)］=f(x+2)，

即f(x)的周期T=2.

又由f(x)是偶函数，且当x∈［-3,-2］时，

f(x)=4x+12，

∴f(125)=f(25)=f(-25)=4×(-25)+12=2.

故选A.

解法2画函数f(x)的图像：

由图像可知f(125)=2.故选A.

错解发现

1庇蒮(x)=-f(x+1)，得f(x)+f(x+1)=0，即f(x)与f(x+1)相反，所以f(x)的图像一定出现在x轴的上方和下方，解法2的图像没有出现在x轴的下方，不符题意，因此解法2是错解.

2比绻解法2是错解，那么解法1呢？从结果看，解法1与解法2的结果相同；从解题过程看，都是利用了函数的奇偶性与周期性；因此解法1也是错解.

错解原因

解法1与解法2都错了，错在哪里？有没有正解呢？解法1与解法2都是利用了函数的奇偶性与周期性，而“f(x)=-f(x+1)”是“f(x)的周期T=2”的充分不必要条件.因此，将条件“f(x)=-f(x+1)”换成“f(x)的周期T=2”，于是有：

原题变式1已知偶函数f(x)的周期T=2，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，则f(125)等于（）.

A2