例析以长方形对角线为载体的中考试题

杨发鑫

中考试题中，以长方形为载体的中考题屡屡出现，这类题往往要用到有关长方形对角线的结论，若这个结论没掌握好，要解这类题目是不容易的，下面我给出结论及应用供同仁们参考．

结论１ 如图１，长方形ＡＢＣＤ的对角线把长方形分成面积相等的两部分．

利用三角形全等容易证明

S△ACB = S△ACD．

结论２ 如图２，ＡＣ是长方形ＡＢＣＤ的对角线，点Ｅ是对角线ＡＣ上一动点，过点Ｅ分别做ＡＢ，ＡＤ的平行线段ＩＦ，ＨＧ，点Ｉ，Ｆ分别在ＡＤ，ＢＣ上，点Ｈ，Ｇ分别在ＡＢ，ＤＣ上，则图中阴影部分的面积相等，即S1 = S2．

证明：如图２，在长方形ＡＢＣＤ中，由结论１知，S△ACB = S△ACD……①．

同理在长方形ＡＨＥＩ中，由结论１知，

S△AEI = S△ABH……②．

同理在长方形ＥＦＣＧ中，由结论１知，

S△ECG = S△ECF……③．

①-②-③，得S1 = S2．

例１ （２０１１年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）如图３，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点Ｃ在反比例函数y = ■的图像上．若点Ａ的坐标为（－２，－２），则ｋ的值为 （ ）.

Ａ． －２ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４

点评 由结论２，易知ｋ ＝ ４，答案选Ｄ.

例２ （２０１１甘肃兰州）如图４，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点Ｃ在反比例函数y = ■的图像上．若点Ａ的坐标为（－２，－２），则ｋ的值为 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． －３ Ｃ． ４ Ｄ． １或－３

点评 由结论２，易知k2 + 2k + 1 =4，解得ｋ ＝ １或－３ ，答案选Ｄ.

以上两例说明了这个结论在解题中的重要作用，若平时对这个结论不熟悉，要解出这两道例题显然是不容易的．