浅谈常见递推数列的类型及解法

周勇 曹建中 黄秋燕

【摘要】数列是高中数学教学的重点,而求数列通项公式又是该问题的难点，本文总结了高中数学常见的几种由递推关系式求数列的通项公式的解法.

【关键词】递推数列;通项公式

数列是高中数学的重要内容之一，虽然在教学大纲中只有12个课时，但是在高考试题卷面中约占总分的8%~11%.由于数列问题最终归结为对通项公式的研究，故数列通项公式的求解是数列中最基本和最重要的问题，也是高考对数列问题考查的热点之一.近年的出题形式为先给定数列的初始项和数列通项的递推关系式，要求解出通项公式.由于求解方法需要灵活的变形技巧，学生遇到此类问题常常感到困难而无从下手.笔者根据自己的教学实践，以数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，总结介绍几种常见的通项公式的类型和解法，供读者参考.

类型一 等差型数列:已知a1和a﹏+1-a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累加法（即逐项相加法），再使用相关公式进行求解.即a璶=(a璶-a﹏-1)+(a﹏-1-a﹏-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).

读者可尝试求解以下三道难度不大的试题：

①（2008天津）已知数列{a璶}中,a1=1,a﹏+1-a璶=1[]3﹏+1(n≥1),则┆玪im猍]n→+∞a璶=.

②在数列{a璶}中,a1=1,a﹏+1=a璶+2n-1(n≥1),求a璶.

③（2008江西）在数列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=a璶+┆玪n1+1[]n ,则a璶=.

类型二 等比型数列:已知a1和a﹏+1猍]a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累乘法（即逐项相乘法）求解，即a璶=a璶[]a﹏-1·a﹏-1猍]a﹏-2·…·a3[]a2·a2[]a1·a1(n≥2).

例1 已知a1=1，a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1).求a璶.

解 由a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1)知a﹏+1猍]a璶=2n-1[]2n+1(n≥1)，故a璶=2(n-1)-1[]2(n-1)+1·2(n-2)-1[]2(n-2)+1·…·2×2-1[]2×2+1·2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1·2n-5[]2n-3·…·3[]5·1[]3·1=1[]2n-1(n≥1).

类型三 线性递推数列：已知a1和a﹏+1=pa璶+q(其中p,q为常数，且pq≠0,p≠1),求a璶.

解法 使用待定系数法转化为公比为p的等比数列后再求a璶，即把原递推公式转化为：a﹏+1-k=p(a璶-k)，可求得k=q[]1-p，再利用换元法转化为等比数列求解.

例2 （2006重庆）在数列{a璶}中，若a1=1,a﹏+1=2a璶+3(n≥1)，求a璶.

解 由a﹏+1=2a璶+3(n≥1),设a﹏+1-k=2(a璶-k)，变形得a﹏+1=2a璶-k，与原式a﹏+1=2a璶+3对比系数可知﹌=-3，故a﹏+1+3=2(a璶+3)(n≥1)，变形为a﹏+1+3[]a璶+3=2(n≥1)，即数列{a璶+3}是首项为a1+3，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式可知a璶+3=(a1+3)·2﹏-1=2﹏+1(n≥1)，故a璶=2﹏+1-3(n≥1) .

类型四 指数递推数列：已知a1和a﹏+1=pa琿璶(p,q为常数且p>0,a璶>0)，求a璶.

解法 对递推等式左右两边同时取对数后转化为类型三，再进行求解.

例3 已知数列{a璶}的各项均为正数且满足,a1=1,a﹏+1=4a3璶(n≥1),求a璶.

解 由a﹏+1=4a3璶对等式左右两边同时取常用对数得玪g玜﹏+1=玪g(4a3璶)=3玪g玜璶+2玪g2,令b璶=玪g玜璶,则b﹏+1=3b璶+2玪g2(n≥1)，再使用类型三中的待定系数解法，即可解得b璶=(3﹏-1-1)玪g2，即玪g玜璶=(3﹏-1-1)玪g2，故a璶=3┆﹏-1-1(﹏≥1).

类型五 分数递推数列：已知a1和a﹏+1=pa璶+r[]a璶+q(p,q,r为常数且pq≠0)，求a璶.

解法 （1）当r=0时,两边取倒数可求出通项.

例4 （2008陕西）已知数列{a璶}的首项a1=3[]5,a﹏+1=3a璶[]2a璶+1(n≥1),求{a璶}的通项公式.

解 由a﹏+1=3a璶[]2a璶+1,两边取倒数，得

1[]a﹏+1=1[]3·1[]a璶+2[]3.ナ褂么定系数法，得1[]a﹏+1-1=1[]31[]a璶-1.

故数列1[]a璶-1是以1[]a1-1为首项,1[]3为公比的等比数列,

∴1[]a璶-1=1[]a1-1·1[]3﹏-1=2·1[]3琻,

故a璶=3琻[]3琻+2(n≥1).

（2）当r≠0时,可先转换为上一种问题,即消去分子中的r,再构造成等差或等比数列求解.

例5 在数列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=2a璶+1[]a璶+2,求a璶.

解 用待定系数法,令a﹏+1+α=p(a璶+α)[]a璶+2,对比系数法则有p-α=2,pα-2α=1荭=1,p=3或α=-1,p=1.当α=-1,p=1时,a﹏+1-1=a璶-1[]a璶+2 ,令a璶-1=b,则有b﹏+1=b璶[]b璶+3变成了上一种形式,两边取倒数即可求得゛﹏+1=2[]3琻-2+1(n≥1).

同样α=1,p=3也可以求出,结果一样.

类型六 二阶递推数列：已知a1,a2和a﹏+2=pa﹏+1+qa璶(p,q为常数且pq≠0)，求a璶.

解法 常用待定系数法将原递推式化为a﹏+2-αa﹏+1=│(a﹏+1-sa璶)，其中α+β=p,αβ=-q，从而转化为新数列{a﹏+1-αa璶}求解.

例6 已知数列{a璶}中,a1=1,a2=5,a﹏+2=5a﹏+1-6a璶,求a璶.

解 可设a﹏+2+α·a﹏+1=β(a﹏+1+α·a璶)，移项与原递推关系式对比系数荭-α=5,

α·β=-6荭=-2,

β=3或α=-3,

β=2.

即a﹏+2-2a﹏+1=3(a﹏+1-2a璶).……(1)

或a﹏+2-3a﹏+1=2(a﹏+1-3a璶).…………(2)

由(1)知,数列{a﹏+1-2a璶}是首项为3,公比为3的等比数列,则a﹏+1-2a璶=3琻.………(3)

由(2)知,数列{a﹏+1-3a璶}是首项为2,公比为2的等比数列,则a﹏+1-3a璶=2琻.………(4)

由(3)-(4)，得,a璶=3琻-2琻.

类型七 混式递推数列：已知a1和a﹏+1=pa璶+f(n)(p为常数且p(p-1)≠0）,求a璶.

解法 常常是两边同除以p﹏+1转化为等差型数列.

例7 （2008全国改编）在数列{a璶}中，a1=1,a﹏+1=2a璶+2琻(n≥1),求{a璶}的通项公式.

解 由a﹏+1=2a璶+2琻两边同除以2﹏+1，得

a﹏+1猍]2﹏+1=a璶[]2琻+1[]2，

故数列a璶[]2琻是以a1[]21即是1[]2为首项,1[]2为公差的等差数列,

∴a璶[]2琻=1[]2+(n-1)·1=2n-1[]2,故a璶=n·2﹏-1(n≥1).

例8 （2007天津改编）在数列{a璶}中，a1=2,a﹏+1=4a璶-3n+1(n≥1),求{a璶}的通项公式.

解 由a﹏+1=4a璶-3n+1两边同除以4﹏+1，得

a﹏+1猍]4﹏+1=゛璶[]4琻+1-3n[]4﹏+1，令b璶=a璶[]4琻 ，

则b﹏+1=b璶+1-3n[]4﹏+1，

移项可得b﹏+1-b璶=1-3n[]4﹏+1，由此想到等式

b璶=(b璶-b﹏-1)+(b﹏-1-b﹏-2)+…+(b2-b1)+b1=1-3(n-1)[]4琻+1-3(n-2)[]4﹏-1+…+1-3·1[]42+1[]2=n[]4琻+1[]4（这里部分求和要用到错位相减法），即a璶[]4琻=n[]4琻+1[]4，故゛璶=猲+4﹏-1(n≥1).

递推数列求解数列通项公式的类型很多，本人只是总结了常见的几种简单递推数列的类型和解法，希望能为数列内容的复习提供一些帮助，不足之处恳请大家批评指正.