圆锥曲线中一类问题的推广及应用

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(周庄高级中学 江苏兴化 225711)

圆锥曲线中一类问题的推广及应用

●张乃贵

(周庄高级中学 江苏兴化 225711)

在近几年的数学高考和竞赛中，经常出现与圆锥曲线焦点、焦半径比、直线斜率有关的一类试题,其典型解法是利用圆锥曲线的第二定义．本文将焦点一般化得到3个用途广泛的命题，更体现出解析几何的特点，并且利用3个命题的推论解决圆锥曲线中的这一类问题．

b2(my+t)2+a2y2-a2b2=0，

整理得

(b2m2+a2)y2+2mtb2y+b2(t2-a2)=0.

由韦达定理知

(t-x1,-y1)=λ(x2-t,y2)，

即

( )

(2010年全国数学高考试题)

解由推论1得

即

k2=4e2-1=2，

解得

故选B．

( )

(2010年第21届“希望杯”全国数学邀请赛试题)

解由推论1得

即

解得

故选A．

(2010年全国数学高考试题)

解由推论1得

即

9e2=k2+1.

又

得

从而

在命题1中,以-b2代换b2,便可得到双曲线中相应的结论．

( )

(2009年全国数学高考试题)

解由推论2得

解得

故选A．

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线方程可设为

将直线方程与抛物线方程组成方程组

消去x得

y2-2pmy-2pt=0.

由韦达定理得

(t-x1,-y1)=λ(x2-t,y2)，

所以

又

得

即

例5已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于点A,B，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=

( )

(2009年全国数学高考试题)

图1

解如图1，抛物线C:y2=8x的准线为直线l:x=-2.分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,作BB1⊥l于点B1，直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点T(-2,0).由抛物线的定义知

即

λ=-2.

由命题3得

解得

故选D．

即

例6已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交C于点A,B．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．

(2008年全国数学高考试题)

解由推论3得

即

λ2-6λ+1=0，

解得

又由|FA|>|FB|，得

(2008年全国数学高考试题)

解推论3是对焦点在x轴上的抛物线得出的结论，为了能够使用推论3，将原题等价转化为：

由推论3得

即

3λ2-10λ+3=0,

解得

因为点A在x轴下方，所以

|FA|<|FB|，

从而

即

推论1，2，3中的结论可以统一为:

这是数学和谐美的体现．用以上的3个命题可以编制出许多新的数学问题，大家可进行尝试．