一道“希望杯”赛题的拓广及其应用

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(漾濞县第一中学 云南大理 672500)

一道“希望杯”赛题的拓广及其应用

●范花妹秦庆雄

(漾濞县第一中学 云南大理 672500)

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(2010年第21届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题)

这道题设计新颖、综合性极强，集中考查了多个知识点，是一道有较好区分度的好题,值得我们深入研究.若将其推广为一般问题进行研究，则可获得如下命题.

图1

证明如图1,不妨设点A位于点B的上方，直线l是与焦点F相对应的准线，点A,B在l上的射影分别为C,D，点B在AC上的射影为H.由椭圆定义得

即

在Rt△ABH中，有

|AH|=|AC|-|HC|=|AC|-|BD|=

(1)

将式(2)代入式(1)，得

(3)

又

|AB|=|AF|+|FB|=λ|BF|+|FB|=

(λ+1)|FB|,

(4)

且λ≠1，由式(3)知|AH|≠0，所以在Rt△ABH中，

将式(3)和式(4)代入式(5)，得

即

若将椭圆拓广到双曲线或抛物线中进行研究，则可获得如下命题.

命题2和命题3的证明与命题1类似，此处从略.根据相似性，可将上述3个命题统一为：

上述定理反映了圆锥曲线焦点分弦所得的比和弦所在直线的倾斜角(或斜率)之间的内在联系.如果掌握了上述定理，那么圆锥曲线焦点分弦所得的比和弦所在直线的倾斜角(或斜率)之间的问题便可迎刃而解.下面以近2年的高考题为例，说明上述定理在解题中的应用.

先给出例1的解答.

( )

(2010年全国数学高考理科试题Ⅱ)

解因为

所以由定理得

解得

因此

故选B.

(2010年全国数学高考理科试题Ⅰ)

解设椭圆的中心为O,焦点弦BD所在直线的倾斜角为θ.在Rt△BOF中，有

又λ=2,由定理得

解得

(2010年辽宁省数学高考理科试题)

解得

( )

(2009年全国数学高考理科试题Ⅱ)

解得

故选A.

从上面几例可以看出，本文给出了圆锥曲线中一个统一的定值，提供的方法可有效地解题，特别是选择题和填空题.需要注意的是，由于该定理不是课本结论，在求解解答题时不宜直接作为解题依据，但可以利用证明定理的思路直接求解.