新课程背景下高考统计与概率试题的新视角

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(南安市第一中学 福建南安 362300)

新课程背景下高考统计与概率试题的新视角

●林少安

(南安市第一中学 福建南安 362300)

统计与概率是高中数学的重要内容，由于它和实际生活联系紧密，同时又是大学概率论与统计学的基础，因此起到了承上启下的作用．新课程强调数学的基础性、现实性，重视素质教育与高考的兼容性，统计与概率的教学内容又恰好是一个很好的载体，因此统计与概率已成为高考的热点之一，并且常考常新，每年都有精彩考题出现，近几年统计与概率试题呈现以下新视角．

1 关注数据处理能力的考查

数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．在复习中，应注意培养学生养成会用数据“说事”，收集、整理、分析数据，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题，养成会用数据“说事”的习惯．

例1某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机地选择了50位老人进行调查，表1是50位老人日睡眠时间频率分布表.

表1 50位老人日睡眠时间频率分布表

图1

在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图(如图1)，则输出的S的值是________．

分析本题借助对频率分布表的分析，考查数据处理的能力．根据频率分布表所提供的数据，利用算法流程图进行处理，计算出加权平均数为4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42．

本题以老人的日平均睡眠时间为背景，考查了频率分布表，将算法流程图知识融入其中是本题的“闪光”之处，使呆板、平淡的数学题充满活力和魅力！

2 关注数学思想的考查

统计与概率中隐含着多种数学思想，必然与偶然最具代表性．统计与概率是揭示必然与偶然(规律性与随机性)之间的一对特殊矛盾．事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的或随机的．为了了解随机现象的规律性，便产生了概率论这个数学分支．随机现象有2个最基本的特征:一是结果的随机性;二是频率的稳定性．研究一个随机现象就是要研究这个随机现象中所有可能出现的结果与每个结果出现的概率，是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这就是所谓或然与必然思想．

例2已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员3次投篮恰有2次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数:

907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,

431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.

据此估计，该运动员3次投篮恰有2次命中的概率为

( )

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

(2009年福建省数学高考试题)

分析本题是以随机事件的概率为载体，主要考查必然与或然思想．由于某运动员每次投篮命中的概率都为40%，因此可运用模拟方法估计概率.由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果是合理的.这里的随机数是偶然的，而40%的概率是必然的，从而利用这随机的20组数来估计该运动员3次投篮恰有2次命中的概率是合理的．其中,表示3次投篮恰有2次命中的数有191,271,932,812,393共5组，因此运动员3次投篮恰有2次命中的概率为25%．

3 关注“过程性”知识的考查

新课程倡导要重视知识的形成、发展的过程，关注对知识形成过程中所隐含的思想、方法与能力的揭示与训练，重视让学生体会知识的形成、发展及问题的解决过程，体会蕴涵在其中的思想方法．在复习教学中必须很好地落实过程教学，要求做到：展示概念、公理的提出过程；展示性质、法则的发现过程；展示公式、定理的推导过程；展示问题、结论的探索过程；展示思想、方法的深化过程．特别是相关定理、法则和公式的复习，切忌让学生盲目套用，应引导他们经历相关过程，理解数学本质．

(2010年全国数学高考试题)

本题考查几何概型、积分的定义等基础知识，考生在解决问题时，再次经历对积分定义的学习这一过程，只有对积分等知识的理解达到一定的层次，才能顺利地解决这一问题．

4 关注“开放性”知识的考查

例4甲、乙2位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲:82,81,79,78,95,88,93,84

乙:92,95,80,75,83,80,90,85.

(1)用茎叶图表示这2组数据；

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；

(3)若将频率视为概率，对同学甲在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ζ，求ζ的分布列及数学期望Eζ．

(2009年福建省数学高考质检试题)

分析本题以概率、统计等基础知识为载体，着重考查数据处理能力．第(1)小题作出茎叶图．第(2)小题是结论开放性问题，结论不唯一，只要能从统计学角度合理分析均可．以下提供2种解答方法：

第(3)小题记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则

因此随机变量ζ的可能取值为0,1,2,3，且

于是变量ζ的分布列如表2所示.

表2 变量ζ的分布列

利用茎叶图表示题中给出的数据，并提取有价值的信息，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策，考查了数据处理的能力．设问的开放性、答题的多样性以及根据统计量的意义作决策是本题的亮点，体现了新课程理念．

5 关注决策原理运用

统计推断的依据是一些统计原理．例如，统计估计时依据极大似然原理、假设检验时依据小概率原理、回归分析依据最小二乘法原理等．它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理．

例5某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出2种拯救果林的方案，每种方案都需分2年实施.若实施方案1，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3,0.3,0.4；第2年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5,0.5．若实施方案2，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2,0.3,0.5；第2年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4,0.6．实施每种方案，第2年与第1年相互独立．令ζi(i=1,2)表示方案i实施2年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

(1)写出ζ1,ζ2的分布列.

(2)问实施哪种方案，2年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

(3)不管哪种方案，如果实施2年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；2年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

(2008年江西省数学高考试题)

分析(1)ζ1的所有取值为0.8,0.9,1.0,1.125,1.25，ζ2的所有取值为0.8,0.96,1.0,1.2,1.44.于是ζ1,ζ2的分布列如表3,表4所示.

表3 变量ζ1的分布列

表4 变量ζ2的分布列

(2)令A,B分别表示方案1、方案2在2年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，则

P(A)=0.15+0.15=0.3,

P(B)=0.24+0.08=0.32.

可见，方案2在2年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．

(3)令ηi表示方案i所带来的效益，则η1,η2的分布列如表5,表6所示.

表5 变量η1的分布列

表6 变量η2的分布列

因此

Eη1=14.75,Eη2=14.1.

可见，方案1所带来的平均效益更大．

“决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学决策．而通过概率的计算并进行大小比较，就是其中的一种科学决策的手段．因此从这个意义上说，这道题不但考查了概率分布列，而且潜移默化地教给了考生一种决策的方法，值得称道．这也充分反映了考试大纲中“精心设计考查数学主体的内容，体现数学素质的试题”的要求，凸现出数学学科的育人功能，真可谓是平淡之中见神奇．

6 关注统计与案例的考查

在统计案例的教学中，让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性)，体会统计方法应用的广泛性.因此统计与案例的考查将是高考试题的一个生长点．

例6为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表7所示.

表7 是否需要志愿者提供帮助人数

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据第(2)小题的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由.

(2010年海南、宁夏数学高考试题)

附表8:

P(K2≥k)0．0500．0100．001k3．8416．63510．828

9.967.

因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由第(2)小题的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异.因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

试题以图表为背景，通过读表，提取相关的信息，突出考查数据处理能力与应用意识．本题的实际背景也是学生非常熟悉的老人是否需要帮助问题，对学生来说非常亲切．因此学生只要多关心身边的问题，善于用数学的眼光看待生活，培养应用意识，就能轻松解决问题．