师生课堂交流中的有效评价引导——“直线与圆位置关系”复习课教学案例片断分析

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(海盐县教研室 浙江海盐 314300)

师生课堂交流中的有效评价引导
——“直线与圆位置关系”复习课教学案例片断分析

●沈顺良

(海盐县教研室 浙江海盐 314300)

师生交流是课堂教学的重要方式.师生数学交流是指在数学教学中，运用数学语言、数学思想方法，接受和表达对数学知识的认识、感受及体验的一种活动.它能够加强对数学的理解，鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与.课程标准在教学建议中指出，教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.评价应贯穿于数学学习的全过程，有利于数学教与学活动过程的调控.师生课堂的交流能呈现出学生的探索、想法，也能暴露出其思考中存在的问题，教师有效的评价能针对性地引导思维、解决问题并渗透思想方法.下面笔者以“直线与圆位置关系”复习课为例就教师的有效评价引导作简要的分析.

1 前后方法的比较评价中激活解析几何思想

师：如何判定直线与圆的位置关系？

生1：通过圆心到直线的距离与圆半径的大小比较.

生2：解直线与圆联立的方程组，转化为一元二次方程的判别式来判断.

师：这2种方法有什么共同特点？

生3：它们都是将直线与圆的位置关系这一几何问题转化为代数方法来解决的，只是前面的方法是利用圆的几何特征先简化再用代数方法的.

师：对.它们都体现了运用代数方法解决几何问题的解析几何思想，那么哪种方法比较好？

生4：第1种方法好，只要计算圆心到直线的距离即可与半径比较大小.

生5：第2种方法好，因为第2种方法也适用于后面的直线与其他曲线的位置关系的.

师：都有道理.第2种方法是一般方法，可适用于直线与一般圆锥曲线的位置判别;第1种方法只适用于圆，因为它是利用圆的几何特征得到的.

例1直线x-y+1=0与圆x2+y2=4的位置关系如何？

生6：画个图就可以知道.

师：看图说话吗？做大题不可以用，那应该怎么判断呢？

生7：用圆心到直线的距离和半径作比较来解决.

师：若变式为：直线x-y+m=0与圆x2+y2=4相交，求m的取值范围？若直线与圆相离呢？

评析独立思考是数学学习的基本特点之一，教师的评价引导应关注学生善于思考并不断地改进思考的方法与过程.不同解题方案的交流可以让学生更多地参与解题思路的探索，也可使学生养成从不同角度思考问题的习惯.在上述教学片断中，教师通过引导学生对2种方法的异同开展比较评价，突出了知识复习中的解析几何思想.若能从2条直线的位置关系判断加以类比，同样得到2种方法(通过直线方程的斜率比较、解2条直线方程的方程组)，其中前一种方法同样是先将几何条件转化为倾斜程度的关系，再用斜率这一方程中的代数形式来解决，则更有效.2种方法都体现着解析几何思想，前一种适用于特殊的圆(直线)图形，后一种适用于一般几何图形.

例1中学生回答的方法应该是可行的.它是在坐标系下画出图形(根据坐标)，再根据图形的直观性直接判断得到的.对于大题的解答过程来说，只要增加一些说明即可.

2 解题过程的归纳评价中整体把握

例2求过圆x2+y2=1上一点(a,b)的切线方程.

师：你能化简吗？

生8：可以.ax+by=a2+b2，即ax+by=1.

师：这样的过程和结果对不对？

生9：斜率不存在的情况没有考虑.

师：那么该如何解决？

生9：再一一找出来，得到x=±1，y=±1.

师：那得到的特殊情形在方程ax+by=1中能统一吗？

生9：将其代入可知是满足的.

师：对，因此所求切线方程为ax+by=1，还要考虑是否遗漏特殊的情形.

3 对学生错误的根源评价加深印象

例3点(a,b)在圆x2+y2=1内，直线ax+by=1与圆的位置关系如何？

生10：这儿的直线和圆是相切的.

师：为何？你怎么想的？

生10：因为直线方程ax+by=1与上面的切线方程相似.

师：上面的切线方程有什么条件？与此有什么不同？

生11：不同的是点(a,b)不在圆上的，上面的结论也不能运用了.

生12：我觉得这儿的直线与圆是相交的关系.

师：能说说你的理由吗？

生12：因为点(a,b)在圆x2+y2=1内的.

师：点(a,b)是在圆x2+y2=1内的，可直线ax+by=1经过点(a,b)吗？

生12：将(a,b)代入得a2+b2=1.因为点(a,b)是在圆x2+y2=1内的，所以不满足条件，因此直线ax+by=1是不经过点(a,b)的.

师：如何判断直线和圆的位置关系呢？

师：前面2位同学都是从形式和表面上得到直线和圆的位置关系的，在实际问题中有的问题具有迷惑性，必须从一般解题方法上加以思考.

评析当学生遇到疑难问题时,引导他们相互交流或师生交流，既能让常见的理解疑惑或典型错误充分暴露，更能通过交流深入寻找形成问题的根源，使学生明确事物的本质特征、相近概念的联系与区别.在上述片断中,生12的回答是常见的典型性错误，是帮助学生辨析的机会.在这儿,教师抓住机会分别进行了追问，师生的交流让其暴露了学生思考的过程，然后有针对性地给予了根源上的纠正.

4 不同解法的比较评价中提升思维

师：你想到解决此问题的途径了吗？

生14：用代数方法即解方程组，可知2个不同的交点对应于方程组有2组不同的解.

生15：此方法比较麻烦，需要开根号还要考虑前后的范围，我通过圆心到直线的距离，可知它们有2个不同交点,即相交.

师：这样的对应正确吗？

生16：应该是直线与上半个圆有2个不同的交点.

图1

师：比较上述方法，哪种更简单？

生18：最后的那种方法要简便些.

师：上述的方法中体现着什么样的思想？

生18：一是数形结合思想;二是等价转化思想.

评析数学思想是数学的精髓，学生数学能力的获得与提高是其自主学习、实现可持续发展的关键.教师的课堂评价必须对此有正确的导向，要求教师把握渗透的机会，贯穿于学生数学知识的建构过程与问题的解决过程中.同时需要关注学生能否在理解不同方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用.在例4中，教师通过引导学生对不同解法进行评价，在比较中不仅知道了方法的优劣，更是在深入的思想层面上的分析经历了思维的层次比较.

5 不同问题解决的比较评价中突出实质

师：是如何解决的？

师：还有其他解法吗？

变式1已知圆(x-3)2+(y-3)2=9和直线y=x+b，当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1(同桌讨论).

师：上述3个问题的解决中有什么共同点？

生23：它们都是圆上的动点问题，相对比较抽象，解决时都是通过转化为圆心和半径的关系求解的.

生24：问题解决过程都是借助图形直观，也就是利用数形结合求解.

师：这就是圆上的动点问题转化为圆心这一定点的一般方法，其中需要形的辅助.

评析对一类数学问题本质的理解,既是有效交流评价的目标，也是课堂交流的途径和基础.教师在引导中要从学生的认知出发，设计不同问题或变式问题，引导学生从数学视角、数学模型和数学思想方法等进行问题本质的理解交流.通过例4及其2个变式的解决，然后引导学生对其共同点开展评价，突出了圆上动点问题的一般转化途径和蕴含其中的数形结合思想，有利于学生对此类问题的理解掌握.