解一道数列题的心路历程

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(应城市第一高级中学 湖北应城 432400)

解一道数列题的心路历程

●陶治国高坤

(应城市第一高级中学 湖北应城 432400)

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说明这是2011届湖北省武汉市的二月调研测试题选择题的第10题.本题主要考查了递推型的数列问题以及数列的极限，考查学生的逻辑推理能力.

评注排除法是一种不错的选择，关键在于要理解xn-1与xn-2取中点为xn.

解法2由题意可知

因此

两边同时取极限得

然后利用极限的思想求得.

解法3由题意可知

令

xn+1+αxn=β(xn+αxn-1),

由待定系数法可得

解得

即

(1)

(2)

式(1)-式(2)得

因此

解得

x1=3.

通过解法3可以得到数列关于相邻3项之间更一般的结论.例如：已知an+1=pan+qan-1,设an+1-tan=s(an-tan-1),则

an+1=(s+t)an-stan-1,

(1)若方程组有2组不同的解(s1,t1),(s2,t2)，则

由等比数列性质得

因为t1≠t2，由上两式消去an+1可得

(2)若方程组有2组相同的解,则

s1=s2,t1=t2,

易证此时s1=t1，从而

an+1-t1an=s1(an-t1an-1)=

得

(3)若方程组有一对共轭虚根r(cosθ±isinθ),则不难求得

an=(c1·cosnθ+c2sinnθ)·rn,

证明过程留给读者.

例1已知a1=a2=1,an+1=an+an-1(n=2,3,…)，求通项公式an.

解由特征根方程x2-x-1=0,得

解得

因此

例2已知数列a1=1,a2=5,且an+1=4an-4an-1(n≥2),求an.

解由特征根方程x2-4x+4=0,得

x1=x2=2.

设通项为an=(c1+nc2)·22,由条件知

解得

于是

an=(3n-1)·2n-2.

例3已知数列a1=0,a2=1，且an+1=2an-2an-1(n≥2),求通项an.

解特征根方程为

x2-2x+2=0,

得

从而

由初始条件得

解得