二次函数与高考如影随形——记“数学教师-快乐相约”QQ群中一道函数题解法的探析与挖掘

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(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006) (浬浦中学 浙江诸暨 311824)

二次函数与高考如影随形——记“数学教师-快乐相约”QQ群中一道函数题解法的探析与挖掘

●马茂年●王苏文

(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006) (浬浦中学 浙江诸暨 311824)

将导数知识放到高中教材之后，我们会联想到可以用导数求解函数的较多题目，相对而言与二次函数有关的很多问题都被教师与学生所忽视.在最近几年各个省份的高考试卷中，与二次函数有关的问题在不断地升温.如安徽卷、山东卷、天津卷、湖南卷、广东卷、四川卷都单独考查了有关二次函数的图像与性质、零点、恒成立等问题.陕西卷、福建卷、江苏卷以其他函数与二次函数结合的形式进行考查.虽然有些高考题本身不是考查二次函数，但解决问题时还是需要转化为二次函数进行思考.由此可以看出有关二次函数的问题还是有必要引起数学教师和学生的关注,尤其是以二次函数为载体的考查.本文以二次函数一例进行解法探析与挖掘,供参考.

1 题目与解法

分析本题以二次函数为载体，考查最值问题.我们知道最值的常见处理方法有：数形结合、线性规划、基本不等式、单调性等.对于本题这类变量较多的最值形式,一般可先将变量减少后进行思考与解答.该如何替换变量呢？不妨先考虑从条件出发直接替换变量.

解法1根据条件可得a>0,Δ≤0，则

评注此解法巧妙地将变量b进行替换，通过换元，结合基本不等式进行最值计算，但需注意等号是否能够取到.

解法2由已知得a>0，Δ≤0,则

因此

令b=a+t(t>0),得

评注此法有效地将变量c进行替换，达到消元的目的，进而可以使用基本不等式求解最值.解法2也可不引进变量t进行求解:

当且仅当b=c=4a时,取到等号.

上述2种解法从条件出发进行变量替换，笔者总感觉从不等式去替换有点不放心，能否考虑从等式出发进行替换呢？譬如从所求式子出发进行变量替换行得通吗？由此得出解法3.

c=t(b-a)-(b+a).

由Δ=b2-4ac≥0，可将c=t(b-a)-(b+a)代入得

余下同解法2.

评注此法通过对所求式子赋予变量，利用等式将变量c进行替换，从而参与题目的解答.与解法1、解法2相比，差别在于解法1、解法2通过条件用不等式进行变量替换，而解法3是通过所求等式进行变量替换.

巧解由已知所有的函数值均非负，可得f(-2)≥0，即

4a-2b+c≥0,a+b+c≥3(b-a).

因为b>a，所以

反思对学生而言，存在几种困惑与错误：(1)变量如此之多该如何处理；(2)替换之后该如何转化到运用基本不等式进行求解；(3)误把“Δ=b2-4ac≤0”变成“Δ=b2-4ac=0”进行求解；(4)没有计算等式成立的条件.

2 题目再挖掘

本题求解的关键是正确理解题意，细致剖析，运用转化方法，结合基本不等式进行求解.有了上述解答，我们可编制下列一些题目.

注本题只需将上述解法中的“Δ≤0”改成“Δ=0”即可.

注本题是对例题的逆向思考，探索结论是否成立，具有较强的综合性.

平时只要我们能用心去思考问题，总能发现一些可挖掘的元素，进而提高对知识的正确掌握与理解.作为重要的初等函数之一的二次函数，许多问题可化归为二次函数来处理，尤其是对3个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的正确掌握显得格外重要.像2009年、2010年浙江卷的高考压轴题均为函数类试题，而且均可转化为二次方程进行解答，值得深思.