2011年数学高考不等式试题评析

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(龙湾中学 浙江温州 325024)

2011年数学高考不等式试题评析

●刘建永

(龙湾中学 浙江温州 325024)

不等式是高中数学的重要内容，主要包括不等式的基本性质、一元二次不等式解法、二元一次不等式(组)与简单线性规划问题、基本不等式及其应用等.不等式内容常和函数、数列、解析几何等内容综合考查，常常需要运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想.2011年浙江省数学高考理科试题对不等式的考查除“不等式选讲”以外，主要体现在第5，6，7，10，14，16，19，22题，分别和集合、简易逻辑、函数与方程、数列、三角与向量、线性规划、基本不等式、函数与导数结合考查.本文围绕不等式这个专题，以新课程教学要求与高考考查要求的比较和分析为出发点，对2011年各省市试题进行归纳分析，以此寻找命题规律，提出2012年的复习建议.

1 教学要求与考查要求

2 命题特点与知识类型

浙江省自2009年高考自主命题以来，“稳”是命题的主要特点.3年来，有关“不等式”内容考查试题的命题，无论是内容还是题型，基本稳定.

例1考查不等式性质：

(1)已知a,b是实数，则“agt;0且bgt;0”是“a+bgt;0且abgt;0”的

( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2009年浙江省数学高考理科试题)

( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分且必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2010年浙江省数学高考理科试题)

( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2011年浙江省数学高考理科试题)

例2考查二元一次不等式(组)和简单线性规划的问题:

(2009年浙江省数学高考理科试题)

( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

(2010年浙江省数学高考理科试题)

( )

A.14 B.16 C.17 D.18

(2011年浙江省数学高考理科试题)

试题以选择题、填空题的形式为主，遵循考试说明，立足考查双基，大部分试题源于课本.不在冷僻的技巧上设置问题，试题质朴无华、淡中见隽，3年来不断寻求知识的新的组合，通性通法与巧妙方法融为一体.

纵观2011年全国各省市共37套文、理高考试卷可以发现,对不等式重点考查的知识类型有：不等式的基本性质、简单的线性规划问题、求最值问题、不等式证明以及含参数不等式恒成立问题.2011年不等式知识在高考中不仅可以单独出题(如安徽省数学高考试题第19题)，而且可以作为工具解决问题，注重了知识之间的交叉、渗透与综合，对考生在知识和思维方面的不断转换，以及精细迅速的运算技能提出了较高的要求(如2011年浙江省数学高考理科试题第22题)，有较强的综合性和一定的思维深度.

3 亮点扫描

纵观2011年全国各地的数学高考试题，不等式内容在高考试卷中3种题型都有出现.选择题、填空题中重点考查不等式的性质及应用、含参数的一元二次不等式的求解、利用基本不等式求最值、利用线性规划求最值或建立在线性规划基础上的求所含参数的变化范围.总体来看，各地试题关于不等式内容部分的试题较之往年没有太大的改变，可以说命题相对常规、突出重点内容、注重通性通法，但也不乏亮点.

3.1 线性规划可行域呈现形式多样化

2011年数学高考文、理科试卷对简单线性规划问题的考查，除了保留往年的可行域是含有参数的变化域以外，2011年的可行域形式多样：有可行域为绝对值的不等式形式，如2011年湖北省数学高考理科试题第8题、江西省数学高考试题理科试题第15题等，侧重考查转化与化归思想；有可行域为几何图形形式，侧重考查数形结合思想，如2011年陕西省数学高考文科试题第12题；有可行域为以应用题形式呈现，侧重考查解决实际问题的能力，如2011年四川省数学高考理科试题第9题等.

例3设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为

( )

A.1,-1 B.2，-2

C.1，-2 D.2，-1

(2011年安徽省数学高考理科试题)

图1

分析不等式|x|+|y|≤1对应的区域如图1所示，当目标函数过点(0，-1)，(0,1)时，分别取最小或最大值，因此x+2y的最大值和最小值分别为2，-2.故选B.

3.2 最值问题的命题以“实”为立足、以“变”为创新

2011年全国各地关于利用不等式求最值问题的考查以“实”为立足，考查通性通法，即所谓的“一正、二定、三等号”题型，以求某一特定式的最值问题，如2011年重庆市数学高考理科试题第7题、江苏省数学高考试题第8题等.但基本不等式的痕迹模糊了，注重数学本质的理解，注重在知识的交汇处命题，如2011年广东省数学高考理科试题第5题、湖南省数学高考理科试题第10题等.有些试题解法多样，通性通法与巧妙方法常常融于一题，相得益彰.

例4设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

解法1考查均值不等式的变形，可先设2x=a,y=b,则

于是

即

解法2令2x+y=t，则y=t-2x代入4x2+y2+xy=1，得

6x2-3tx+t2-1=0.

由方程有解可得

Δ=9t2-24(t2-1)≥0,

即

解得

故

解法3设f(x,y)=4x2+y2+xy-1.由f(x,y)=f(-x,-y)，得曲线f(x,y)=0关于原点对称，因此当xgt;0,ygt;0时，2x+y才有可能取得最大值.此时，由

4x2+y2+xy=1

得

图2

2x+y=AB+AC=

2R(sinB+sinC)=

3.3 不等式证明在解答题中单独成题

不等式证明在解答题中单独成题，是2011年数学高考命题的一大亮点.恒等变形是中学数学中最重要、最本质的思想方法之一.2011年安徽省数学高考理科试题第19题，形为不等式的证明，实为考查代数式恒等变形和迁移发散思想的应用.

例5(1)设x≥1,y≥1,证明：

(2)1≤a≤b≤c，证明：

logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

(2011年安徽省数学高考理科试题)

分析由x≥1,y≥1,可知欲证原不等式成立，只需证

xy(x+y)+1≤x+y+(xy)2，

即证 [x+y+(xy)2]-[xy(x+y)+1]≥0.

接下来的代数式因式分解为恒等变形，需要在运算中彰显能力，根据条件和目标不断确定和调整运算方法和路径，需将运算进行到底.事实上，

[x+y+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=

[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=

(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=

(xy-1)(xy-x-y+1)=

(xy-1)(x-1)(y-1).

本题设置了2个貌似无关的问题，克服了传统命题中考查数列不等式和函数不等式的老套路，折射出对称美和简约美，引导学生通过观察、判断、联想、发散，将第(1)小题的结论迁移到第(2)小题的情境中去.设logab=x,logbc=y，由对数公式可得

代入第(1)小题便可得结论.仍然是考查代数恒等变形能力和推理论证能力，达到考查学生理性思维深度和广度的目的.

4 复习建议

4.1 立足课本，浅入深出

“立足课本”是高三数学复习教与学的归宿；重新解读教材，激活已学知识；清晰课本中各概念的内涵与外延，注重课本知识的内在联系；传承教材结论，总结思想方法；把例、习题的条件或结论特殊化，通过观察、归纳、猜想、类比进行拓展；把例、习题的条件作适当的改变，去探求是否有类似的结论；遵循课本上解题的论述方式.

4.2 构建与完善不等式的基本模式

例6已知a,b,c∈R+,abc=1,求证：

高考试题的特点表明，复习中要淡化特技，强化通法.复习中选题是重要一环，讲题也是关键的一环，它是学生增强能力的重要渠道.因此我们始终要注意保持这一渠道的通畅性，讲题时尤应注意讲联系、讲转化、讲本质、揭示规律，由例及类，做到既就题论题，又借题发挥，纵横联系，融会贯通,以一当十，以少胜多.