谈高中数学“新定义”题型的解题策略

510080 广州市第七中学 刘 红

谈高中数学“新定义”题型的解题策略

510080 广州市第七中学 刘 红

在近几年全国、各省的高考数学命题中，“新定义”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义”问题，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖，所包含的信息丰富，能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.掌握好下列几种解题的思路与方法，为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.

1 有关定义“集合的问题”

有关定义“集合”的问题，可化归为对集合中元素特征的研究.

例 1 若规定 E={a1，a2，a3.…a10}的子集{ai1，ai2，…ain}为E的第k个子集，其中k=2i1-1+2i2-1+…+2in-1，则：

(1){a1，a3}是 E 的第_____个子集;

(2)E的第211个子集是______.

分析 此题把E的所有子集进行了“编号”，编号k的值可按表达式的要求计算.故(1)中k=21-1+23-1=5;(2)首先要对编号211进行估计分析：参考27=128，可确定指数的范围，容易得到答案{a1，a2，a5，a7，a8}.此题弄清元素的下标数字特征对k值的贡献是解题的关键.

例3 设S为实数集R的非空子集.若对任意x，y∈S，都有 x+y，x-y，xy∈S，则称 S 为封闭集.下列命题：

(2)若S为封闭集，则一定有0∈S;

(3)封闭集一定是无限集;

(4)若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)

分析 封闭集对集合中元素的特征提出了明确的要求，故只需从元素的特征入手解答.易知(1)为真命题;(2)由“若对任意 x，y∈S，都有 x+y，x-y，xy∈S”，若集合 S 为{x，y，…}，则集合 S 可以“扩张”为{x，y，x+y，x-y，xy…y-x，}，故 S 必然可再次“扩张”为{0，x，y，…}，故0∈S，此命题为真命题.(3)可由(2)中得到启示，举反例S={0}，故为假命题.(4)借助反例S={0}易知T{0，1}不符合“封闭集”的概念，故为假命题.

2 有关定义“运算”的问题

有关定义“运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行合情推理.

例4 设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对a，()b，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)=b，则对任意的a，b∈S， ┈┈┈下列等式中不恒成立的是

分析 新定义的运算法则是a*(b*a)=b，故应重点去理解这个运算法则和运算结果特征.易知，B选项中(a*b)*a=a与已知运算法则中所体现出的结构不同，可变形为：(a*b)*［b*(a*b)］，再结合运算规律，知运算结果应为b.故选B.

例5 对于大于1的自然数m的n次幂，可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数为b，则a+b= ___.

分析 在这种“分裂”运算中，通过观察分析，可以进行合情推理，寻求其“分裂”的规律，x2型“分裂”从上到下是连续的奇数，x3型分裂从左到右也是连续的奇数，故52的“分裂”为1，3，5，7，9，故b=9，53的“分裂”为21，23，25，27，29，故 a=21，所以答案为 30.

3 有关抽象函数的问题

3 有关抽象函数的问题，通常是抓住函数特性在定义域上是恒等式，利用变量代换解题，即利用“赋值法”寻求函数的有关性质，如周期性、奇偶性、单调性等.

例7 设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，比如f(123)=12+22+32=14，记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，k=1，2，3，…，则 f2006(2006)的值为

分析 利用题目定义的运算关系，先算几个数(或几步)看看，试图从中找到相关的规律，是我们常用的方法.将f(2006)=40记做2006→40，于是有：

从16开始，fn是周期为8的周期数列，故有：

f2006(2006)=f2004(16)=f4+250×8(16)=f4(16)=145.故选D

例8 已知函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意a，b∈R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，且当 x＜0 时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3，证明：函数y=f(x)是R上的减函数;

证明：函数y=f(x)是奇函数;

试求函数 y=f(x)在［m，n］上的值域(m，n∈Z).

解 根据所要证明的问题，采用有向思维，通过赋值和变量代换，应该可以得到所需的结论.

故函数的值域为［-n，-m］.

20111103)