1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

430032 武汉市第十一中学 肖 燕

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

430032 武汉市第十一中学 肖 燕

1 本节课教学内容的本质、地位、作用分析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识.返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广.从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破;运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程.这样做的目的是为了分解问题、简化问题.可见，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键.

2 教学目标分析

(1)通过实例列举凸显两个原理发现的原始过程，使学生熟练掌握两个原理的内容、区别.

(2)通过特殊到一般的归纳推理思维，培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力.

(3)通过抢答练习，使学生能够灵活的应用两个原理解决常见的计数问题，亲历数学研究的成功和快乐.

(4)通过思考题的探索与发现的过程，感悟数学朴实无华的内在美，激发学生勇于探索、敢于创新的精神.

3 教学过程

师：每天，武汉的街头都有可能发生这样的事情：堵车视频：剪辑自《后天》镜头

后配音：路人：“这就是武汉的交通，车越来越多，超过100万辆了”

乘客甲：“怎么这么堵?”

的士司机：“车辆增加太快了?”

乘客乙：“车牌照够不够哟?”

师：刚才这个小伙子提出的问题真的值得研究一下，我们先来看看现有牌照的选号规则：

引例 鄂A后的五位数中，第一位表示车辆所在区域：汉口三个老城区中江岸可用“1”、“A”、“H”;江汉可用“2”、“B”、“P”;硚口可用“3”、“C”，接下来的两位数可以在0-9十个数字以及A到Z二十六个大写字母中任意选取，最后的两个数则只能在0-9的数字中选取，汉口的三个老城区最多能派发多少牌照?

师：这个问题是一个典型的计数问题，其实类似问题还有很多：幼儿园时我们有多少玩具?早上出门寻求上学途径有多少种方法?甚至出门前我们有多少上衣和裤子，能够搭配种数有多少等等，我们将这种方法数的计算问题都称为计数问题.

师：计数问题，我们从幼儿园开始做起，一般怎么做呀?

学生：一个个的数.

师：刚才的这个问题，逐个去数这种方式好不好?

学生：不好.

师：所以我们有必要研究合理的计数方式来进行简化吧.那么到底如何化繁为简呢?生活中我们如何将复杂问题简单化呢?能不能分享下你的经验?

生1：一般有两种，第一分门别类，各个击破;第二分解为若干“步骤”，逐步完成.

教师：你真是生活中的有心人!他说我们生活中的问题有两种方案简化：一种是分类简化，逐一突破;另一种则是分步简化.比如这个题目要计算汉口老城区发放的牌照数，我们就可以分别去计算硚口、江岸、江汉，这其实就是一个分类简化思想的运用;而5个数构成的牌照我们可以一个个的填一步步的解决这个问题.所以，分类和分步可以有效的简化我们的计数方式.今天咱们就来学习这两种最基础最重要的计数原理.

课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

我们还是从身边的一些简单实例开始我们的研究：

问题1 恰逢辛亥百周年庆典，大量游客都想到武汉这一革命圣地缅怀英雄，北京人小斌也是其中一人，从北京到武汉目前有两种交通工具供选择：飞机、旅客列车，已知当天飞机有3班，旅客列车有5班.问共有多少种不同的选择?谁能解决这个问题?

生2：8 种.

师：很好，请问：小斌要完成一件什么事?

生2：从北京到武汉.

师：他怎么完成这件事?

生2：从两种交通工具中选一个.

师：怎样计数?

生2：把两类交通工具数相加即可，5+3=8.

师：分析的不错，请坐!这里呢有两类方法都可以独立完成从北京到武汉这件事，咱们将方法数相加就得到了这个问题的答案.

问题2 参观完首义园后，小斌还有一天的时间自己安排，他准备去武昌或汉口的一处景点旅游，武昌可以去“东湖”、“黄鹤楼”、“楚河汉街”“马鞍山森林公园”四个景点，而汉口可以去“江滩”、“极地海洋世界”、“武汉科技馆”三个景点，请问他共有多少种选择?请哪位同学按照咱们刚才的方法详细分析一下

生3：他要从武昌或汉口的景点中选择一个，所以把两类景点数相加得到7.

师：分析的非常好.

师：其实，提出问题比解决问题更难能可贵，我们大家思考一下，能否举一些生活中类似的例子吗?

生4：我家附近有2家肯德基，5家麦当劳，3家必胜客，我中午要选择一家去吃饭，所以一共有10种选择.

生5：我早上到学校那个时间段有3趟轻轨，5趟中巴，我上学有8种方法.

师：很好，刚刚我们研究的这些问题虽然简单，但体现出数学中的一个原理，抛开其实际意义，我们能否寻求共性，抽象出一个命题呢?大家可以讨论一下.谁能试着分析一下：

生6：这些例子都是计数问题，即需要完成一件事，计算其方法数，都有几类方案可以选择，都用加法运算.

师：很好!你的抽象概括能力很强.你能把它叙述为一个数学命题吗?

生7：完成一件事有m类不同的方案，在第1类方案中有n1种不同的方法，在第2类方案中有n2种不同的方法，……，在第m类方案中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+…+nm种不同的方法.

师：很好，这就是我们今天要认识的第一种计数原理.

师：原理是指在大量的观察、实践的基础上，归纳总结出的具有普遍意义的基本规律，一般无须证明.

我们看到：在这个原理中，大家要注意：“完成一件事”，“分类”，“加法”几个关键词.这个原理浅显易懂，关键能够灵活应用.

师：我们继续来看小斌的行程：

问题3 现在小斌的行程略有改变，去武汉前，他必须先到天津一趟，当天从北京去天津有6种方式，再从天津到武汉有3种方式，那么他从北京转天津到武汉共有多少种方式?

生8：18 种.

师：谈谈你的想法.

生10：我觉得还可以这样考虑：我们要完成一件事是从北京转天津到武汉，那么我先选北京到天津有6种方法，再选从天津到武汉有3种方法，所以共有6×3=18.

师：为什么是乘法呢?

生10：如果把北京去武汉的六种方式分别记为a1、a2、a3、a4、a5、a6，而天津到武汉的三种方式分别记为 b1、b2、b3，当我们北京到天津选择方式a1，那天津到武汉有b1、b2、b3三种，若选择 a2或 a3或 a4等等天津到武汉也还是有三种，所以应该用乘法.

师：这位同学的分析很经典.

师：你们能举一些生活中类似的例子吗?

生11：我还是举那个吃快餐问题.我家附近有2家肯德基，5家麦当劳，我中午去肯德基、下午去麦当劳，一共有10种选择.

生12：搭配衣服，我上衣有5件，裤子有3条，共有15种搭配.

师：大家举的例子漂亮极了!我相信大家一定能够寻求共性，仿照分类加法计数原理抽象出一个一般命题?

生13：完成一件事有m个步骤，做第1步有n1种不同的方法，做第2步有n2种不同的方法，……，做第m步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法.

师：非常好，这就是我们今天认识的第二种计数原理.在这个原理中，我们要注意：“完成一件事”，“分步”，“乘法”几个关键词.步与步之间要相互依存，分步要做到“步骤完整”，从刚才的讨论可以看出，只有每一步都连续完成，这件事才宣告完成.

师：刚才我们学习了两种计数原理，这两种计数原理分别是分类和分步.原理本身浅显易懂，关键能够灵活应用.其实以前大家可能就能够不自觉的使用，希望以后在用原理解决问题时，要清楚的用原理表达，完成一件什么事?怎么完成?是分步还是分类?下面我来看一个例题：

例1 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法?

(3)从书架上取2本不同种类的书，有多少种不同的取法?

生14：(1)要完成从书架中取出1本书这件事，我分三类，即取出计算机书或文艺书或体育书，由分类加法计数原理，有4+3+2=9种不同的取法

生15：(2)要完成从书架中第1，2，3层各取一本书的这件事，我分三步：先取一本计算机书，再取一本文艺书，最后取一本体育书，由分步乘法计数原理，有4×3×2=24种不同的取法

学生讨论填充表格.总结归纳两个原理的区别和联系

生16：(3)要完成从书架中任取2本不同学科的书这件事，先分三类：一本计算机书和一本文艺书，一本文艺书和一本体育书，一本体育书和一本计算机书，第一类又分为两步，先取一本计算机书，再取一本文艺书，这样共有4×3+4×2+3×2=26 种不同的取法

师：大家可以看到，这个问题就是一个先分类再分步的问题，那么还有没有不同的做法呢?

生17：我觉得还可以分两类，第一类两本书中有计算机书，第二类两本书中没有计算机书，即有 4 × (3 +2)+3×2=26种不同的取法.

师：两位同学都回答正确.其实很多问题都存在不同的分类方法，但大家需要注意的是每一种分类都需要做到“不重不漏”，既不能重复也不能遗漏，这也是分类讨论的数学思想的关键点.

师：还记得课前那个小伙子提出的问题吗?我们现在能够解决了吗?

引例 鄂A后的五位数中，第一位表示车辆所在区域：汉口三个老城区中江岸可用“1”、“A”、“H”;江汉可用“2”、“B”、“P”;硚口可用“3”、“C”，接下来的两位数可以在0-9十个数字以及A到Z二十六个大写字母中任意选取，最后的两个数则只能在0-9的数字中选取，汉口的三个老城区最多能派发多少牌照?

生18：这个问题分为3类，江岸有3×36×36×10×10种，江汉也有3×36×36×10×10 种，硚口则有 2×36×36×10×10 种

生19：这个问题可以分为5步：第一步可以有8种选择，第二步可以有36种选择，第三步可以有36种选择，第四步可以有10种选择，第五步可以有10种选择，所以共有8×36×36×10×10.

师：两位同学选择了不同的方式，都非常好的解决了这个问题，其实可发牌照总数共有1036800种.如果以后车更多了，牌照真的不够了，怎么解决?

生：增加一位数，或是后两位也可以使用字母.

师：没错，所以以后我们也许能看到5个X连号的牌照了，很有意思吧?

师：下面我们来作一个抢答练习，同学们根据性别分为两类，看看谁会赢?

抢答练习1 一件工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另4人只会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同方法的种数有多少?

男生1：这个问题可以分两类，用分类加法计数原理：5+4=9.

师：男生先拔头筹，先得10分.

抢答练习2 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的线路有多少条?

女生1：这个问题是分为两步，利用分步乘法计数原理：3×2=6.

师：好，女生追平得分

抢答练习3 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左，右两边的墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法?

男生2：这个问题可以分为三类：甲不选，乙丙左右挂两种;乙不选，甲丙左右挂两种;丙不选，甲乙左右挂两种，共6种方式.

男生3：这个问题可以分为两步：第一步左边从甲乙丙中选一幅挂有3种，第二步右边从剩下的2种里选择，所以一共有6种方式.

师：这两种方案都能够成功的解决这个问题，不过都是男生得到的，那么再给男生加10分.

抢答练习4 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法?

女生2：首先在会钢琴的7人中选一个，然后再在会小号的3人中选一个，有21种.

师：有没有注意艺术组只有9人?

女生2：那就是有一个人即会钢琴又会小号.

师：那你刚才考虑的对吗?

女生2：哦，把这个人在两边同时入选的情况减掉，应该21-1=20.

师：很好，那还有没有其它方式?

男生4：可以把这个事情分为两类：那个两个都会的多面手入选或是他不入选，第一类有6×2=12，第二类有6+2-8种，所以共有20种.

师：没错两种方案都很棒，男女生各加10分，恭喜男生今天的表现略胜一筹.下面大家看到的是一个高考题，我们看看经过今天的学习，大家能否解决?

思考题 现有六种不同颜料给右图涂色，要求两相邻区间不同色，共有多少种涂色方式?

生20：这个问题可以使用分步计数原理：第一步涂A有6种选择，第二步涂B有5种选择，第三步涂D有4种选择，第四步涂D有4种选择.所以有6×5×4×4=480种不同的涂色方案.

师：有没有同学有不同的方式?

师：刚才这位同学在涂色步骤使用的是A-B-D-C，这是一种很好的步骤选择.如果先涂C再涂D，大家是不是就会有疑惑D有多少种方法?不知道A、C区域颜色是否相同吧?

生21：所以这个问题可以分类解决：AC同色，第一步涂AC，共有6种，第二步涂B有5种，第三步涂D有4种，有6×5×4=120;AC 不同色，第一步涂A，有6种，第二步涂C，有5种，第三步涂B有4种，第三步涂D有3种，有6×5×4×3=360;所以总共有480 种.

师：这种方案进行了一个合理的分类，也非常成功的解决了问题.

反思小结、思想升华

并计算其方法数区别一 完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”分类加法计数原理 分步乘法计数原理联系 都需要完成一件事，完成一件事情，共分n个步骤，关键词是“分步”区别二 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事情.只有每个步骤完成了，才能完成这件事情.区别三 各类办法相互独立 各个步骤相互依存

师：我们把引例改一下，假设武汉牌照的选号方式发生改变：鄂A后的五位数都可以在0-9十个数字以及A到Z二十六个大写字母中任意选取，但五个数的数字和字母不能重复，则可以表示多少不同的机动车牌照?

生22：可以通过分步计数原理，第一步36种，第二步35种，第三步34种，第四步33种，第五步32种，共有36×35×34×33×32×31 种方式.

师：分步计数原理学得非常好，大家想不想有更简单的模型解决这类问题呢?我们将在下一节课中研究这种更简单的模型呢.同学们，经过这节课，我们可以看到，细微的生活中总是蕴含着深刻的数学思想，在利用数学工具研究缤纷多彩的世界过程中，我们可以充分的享受这无限的乐趣，或许这就是数学的魅力!最后预祝大家都能学好数学、用好数学、欣赏数学、热爱数学!

20111127)