小波在结构损伤鉴定中的应用

杨海鸣 杨 帆

（深圳地铁集团有限公司1） 深圳 518026）（同济大学结构工程与防灾研究所2） 上海 200092）

近来被誉为分析信号的数学显微镜的小波变换［1］，以其在信号处理方面的强大功能，正被逐步引入到结构健康诊断中.利用模态测试识别模态参数是进行结构健康诊断的有效方法，而将小波变换应用到结构模态参数［2］上（例如模态振型），对结构进行损伤检测，为结构健康诊断开拓了一个新的研究领域.由于Fourier变换缺乏空间局部性［3－4］，因此由函数的Fourier变换只能确定其奇异性的整体性质而难以确定其奇异性的空间分布情况.也就是说当函数有许多奇点时，用Fourier变换难以确定各奇点的位置及各奇点奇异性的强弱.

1 信号奇异性与小波模极大值的关系

小波变换除了可以写成的内积形式以外，还可以写成卷积形式［5－6］，它们在本质上是一样的.下面列出卷积形式：

设h（t）是函数f（t）和g（t）的卷积，则根据傅里叶变换的性质有

若将函数f（t）看做是信号，g（t）看做是滤波器，那么，信号的导数与滤波器的卷积结果可看成是滤波器的导数与信号的卷积.例如，如果选g（t）为高斯函数，则利用其导数可以构造Morlet小波和Maar小波，因此，小波变换的突变点和极值点与信号f（t）的突变点和极值点具有对应关系，利用小波变换可以检测突变信号.具体过程如下.

设θ（t）是一个起平滑作用的低通平滑函数，且满足条件为

通常θ（t）取为高斯函数，即

假设θ（t）是二次可导的，并且定义为

则函数ψ（1）（t），ψ（2）（t）满足小波的容许条件，即

因此，可用为小波母函数.

由于阶跃函数的导数是脉冲函数，脉冲函数的导数是零.如果信号中存在阶跃型奇异点，当小波函数可看做某一平滑函数的一阶导数时，就会在该点产生小波变换模的局部极值点.当小波函数可看做某一平滑函数的二阶导数时，信号小波变换模的过零点，这就是采用检测小波变换系数模的过零点和局部极值点可检测信号的突变点的原理.

由上面叙述可知，要想使信号的不同类型奇异点经过小波变换后得到过零点或是局部极值点需要针对不同的奇异点类型选用不同的小波，其主要原则是看小波是光滑函数的几阶导数.文献［7－8］中介绍了一个非常有用的定理：快速衰减的小波ψ具有n阶消失矩，当且仅当存在快速衰减函数θ使得此时的小波变换为可见如果小波函数是平滑函数的n阶导数那么它的消失矩就是n.

2 信号奇异性指数和小波模极大值的关系

将离散母函数ψj，k（t）改写为

式中：s＝2j；~t在ψj，k（t）的支集内.

于是j尺度下的小波变换的模可表示为此式方括号中权是有界量，故有

因为a＝2－j所以还有式

当小波平移到奇异点时，取等号.

由上式可知小波变换模极大值大小随尺寸变化的规律：（1）若α＜0，例如在δ函数或尖峰函数的突变点处，随着j值得增大（尺寸变细），将越来越大.对于白噪声信号来说，因为它是随机的、且是密集地逐点滴类似于δ函数形的，所以其指数α＜0，其小波变换幅值也是随j值增大而增大且是密集的；（2）若α＝0，例如在阶跃函数突变点，不随尺寸的改变而变化；（3）若α＞0，例如在折线突变点处，随着j值增大（尺寸变细），越来越小.

检索并保留突变点t0处不同层的小波变换模极大值，标记如下.

应该看到，在较细尺度层上作上述估计才是较准确的，在多个较细尺度层上作上述估计可获得较稳定的结果.

3 结构损伤分类

设w为平面结构竖向位移，结构的转角、弯矩和剪力可以表达为

完整结构在任何受力状态下，位移、转角都是连续的；当结构上没有集中力偶作用时，无论结构完整与否，弯矩都是连续的；当结构上没有集中荷载作用时，无论结构完整与否，剪力也应该是连续的，但是由于这种受力状态（结构上不受集中荷载）在工程中非常少见，不具备普遍性，所以可以认为结构中的剪力本身是不连续的.取结构上任意一点x＝a，有如下连续性表达式

如果信号产生了损伤，那么其位移信号将会在损伤点产生奇异性，针对对位移信号奇异性的几种分类，下面指出其对应的结构损伤类型：

1）如果位移信号在a点不连续，即w（a＋）≠w（a－）.对于2种不连续情况，如果位移发生了阶变型突变，相当于结构在a点错动.如果位移发生了尖峰型突变，相当于结构在a点起拱.

2）如果位移信号一阶导数在a点不连续，这相当于转角信号不连续，此时即对于2种不连续情况，如果位移信号一阶导函数发生了阶变型突变，相当于结构在a点发生整体转动.如果位移信号一阶导函数发生了尖峰型突变，相当于结构在a点结构在a点发生局部转动.

综上，可以将结构的损伤形式归结为4类：起拱、错动、局部刚度衰减及整体刚度衰减.由阶变型和尖峰型的导数关系可知，高阶的尖峰型突变实际上是降一阶的阶变型突变，所以与结构损伤类型相对应的位移信号奇异性为：位移发生了突变和阶变、位移的二阶导数发生突变和阶变.

4 实例分析及讨论

利用悬臂梁纵向位移信号和纵向位移差信号对4种损伤类型进行奇异性检测，主要比较两种方法在形成模极值点、模峰值点、以及奇异点最终定位上的效果，同时研究模极值点分布规律以便对奇异点定位作辅助判断.对于简单结构其第一阶振型和位移十分相似，可以用振型信号代替位移信号.

基本参数 模拟一悬臂梁，其基本数据为：梁长5 m，宽0.4 m，高0.4 m，材料密度ρ＝7 800 kg／m3，泊松比υ＝0.2，梁完好时弹性模量E＝2×1011Pa.将梁身划分为100个单元，101个节点，对50号单元以后的所有单元弹性模量加以修改，分别改为E＝2×1010Pa和E＝1×1011Pa，得到一阶振型图如图1、图2所示.

图1 52号节点刚度强突变

图2 52号节点刚度弱突变

本文采用gaus3小波.对图1示信号作小波变换，并提取其模极大值，画出在尺度1～8上小波模极大值分布图，见图3.

图3 图1所示信号模极大值分布（尺度a为1～8）

利用guas3小波，对图1所示信号和无损信号之差作小波变换（尺度a从1～8），并提取其模极大值，画出在尺度1～8上小波模极大值分布图，见图4.

图4 图1所示信号差模极大值分布（尺度a为1～8）

利用gaus3小波对图2所示信号作小波变换，并提取其模极大值，画出在尺度1～8上小波模极大值分布图，见图5.

图5 图2所示信号模极大值分布（尺度a为1～8）

利用guas3小波，对图2所示信号和无损信号之差作小波变换（尺度a从1～8），并提取其模极大值，画出在尺度1～8上小波模极大值分布图，见图6.

图6 图2所示信号差模极大值分布（尺度a为1～8）

从图3～6可见利用模极大值分布图来辨别奇异点，从图中可以看出在尺度8以内，51号节点处能够形成一条不偏移的模极大值线（竖线）.因为是50号单元损伤所以损伤点出现在51节点是非常精确的.模极大值分布是确定损伤位置的最佳方法.

5 结 论

1）为方便计算，选用的比较简单的小波，而所选小波的不同肯定会引起合成地震动的时频特性的不同，如何针对不同的工程要求，选择最佳的小波是基于小波的地震动合成研究中的一个非常重要的课题.

2）本文提到了信号降解方法，并得出结论有损信号和无损信号差是对梁结构的一种有效的降解方法，但这种方法是特定的，针对不同的结构，不同的奇异性类型寻找新的降解方法将是小波探伤研究中的另一个重要课题.

3）利用小波模极大值的分布可以更加清晰的判定损伤位置.

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