公路货物运输量灰色马尔可夫预测模型＊

张文会 崔淑华 邓红星

（东北林业大学交通学院 哈尔滨 150040）

公路货物运输量预测既是道路运输业发展调研的重要内容，又事关全国和区域道路运输长远发展规划，其预测值是制定道路运输业发展战略的重要基础数据.查阅文献，对公路货物运输量的预测方法很多，随着计算机的应用以及数据处理方法的发展，近年来主要有系统动力学模型［1］、BP神经网络模型［2］、灰色系统模型［3］、支持向量回归机模型［4］、马尔可夫模型［5］以及混沌模型［6］等.预测方法直接影响预测精度，因此预测模型的选择将关系到预测值的可行性与实用性.

本文基于灰色系统理论，在GM（1，1）预测方法的基础上，引入马尔可夫预测理论，建立灰色马尔可夫预测模型，并以实例说明所建模型对公路货运量和周转量的预测精度.

1 GM（1，1）模型

设 时 间 序 列 X（0）有 n 个 观 测 值：X（0）＝｛X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）｝，要求n≥4.通过累加生成了新序列：X（1）＝｛X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）｝.

式中：a为发展灰数；b为内生控制灰数.

运用最小二乘估计以及微分方程理论得到GM（1，1）预测模型如下

可以证明，原始非负序列X（0）作一次累加生成的序列X（1）具有近似的指数规律，称为灰指数律.所以把生成序列X（1）视为t的连续函数，建立如下微分方程

2 灰色马尔可夫预测模型

灰色马尔可夫预测模型是将灰色系统理论和马尔可夫链理论相结合建立的预测模型，既解决了灰色模型对波动较大的数据样本预测精度不高的缺陷，又弥补了马尔可夫模型要求数据具备平稳过程的局限性.

2.1 状态划分

对于一个具有马尔科夫链特点的非平稳随机序列Y（t），将其划分为n个状态，任一状态区间表示为

由于Y（t）是时间t的函数，因而灰元~⊗1i，~⊗2i也随时间变化而变化，即状态⊗i具有动态性.

状态划分数量与样本数及拟合的误差范围有关，若过多则需要样本较多，过小则状态差别不明显，失去了对波动调整的意义.一般以3～5为宜［7］.

2.2 状态转移概率

1）状态转移概率

2）状态转移矩阵

式中：Mij（k）为由⊗i状态经过k步转移到⊗j状态的原始数据样本数；Mi为处于⊗i状态的原始数据样本数；Pij（k）为相关参数由⊗i状态经k步转移到⊗j状态的概率.

状态转移概率矩阵描述了系统各状态转移的全部统计规律，在实际运用中，一般只要考查一步转移概率矩阵P（1），设预测时相关参数处于⊗k状态，则考察状态转移概率矩阵第k行，若

则可认为下一时刻系统最有可能由⊗k状态转向⊗l状态.若遇矩阵中第k行有2个或者2个以上概率相同或相近时，则状态的未来转向很难确定，此时需要考察两步或n步转移概率矩阵P（2）和P（n）（其中n≥3）.

当状态划分不太适合，以致某一状态中无原始数据落入时，则可令Pij（k）＝Pji（K）＝0.由此，可求出状态转移概率矩阵（TPM）R（m）来预测未来状态的转向.

3）k步状态转移概率.经过k步转移由状态⊗i转移到状态⊗j的概率记为

当系统满足稳定性假设时，k步状态转移概率为

式中：P为一步状态转移矩阵.

4）灰色马尔可夫预测模型.当确定了数据样本未来状态转移概率矩阵后，也就确定了未来时刻相关参数的变动灰区间，可以用区间中位数作为未来时刻的预测值G（t），即

3 公路货物运输量预测实例

以黑龙江省1978～2008年公路货运量和货运周转量作为基础数据，见表1.

表1 公路货运量和货运周转量数据

3.1 货运量预测

1）货运量GM（1，1）模型 由表1数据建立如下货运量的GM（1，1）模型：

2）模型精度检验 计算原始数据序列的标准差，残差序列的标准差，后验差比值以及小误差概率，进行模型精度检验，计算所得结果见表2.

表2 货运量GM（1，1）模型精度检验

查找灰色预测模型精度检验等级表［8］，货运量的GM（1，1）预测模型后验残差比值虽为一级，但小误差概率为三级，勉强合格，需用马尔可夫预测模型修正.

3）状态划分 由表1原始数据，将货运量原始数据划分为4个状态，即n＝4：

式中：Y（t）为t时刻货运量GM（1，1）模型预测值.4）计算状态转移概率 由表1原始数据以及上述状态划分，可得到货运量的一步状态转移概率矩阵

5）货运量预测.由以上状态转移概率矩阵可以预测未来货运量，由表1知2004年的货运量处于状态⊗2，则根据状态转移概率确定方法，考察状态转移概率矩阵的第2行，可看出

经过1 a的转移，2005年的货物周转量最有可能处于状态⊗2，根据式（2）和（3）以及式（12），2005年货运量预测值为

同理可以预测2006～2008年的货运量.表3为2005～2008年货运量灰色预测结果与灰色马尔可夫预测结果的比较.

表3 货运量预测比较

由表3可见，货运量灰色马尔可夫预测模型的预测精度高于GM（1，1）模型.可预测2015年黑龙江省公路货运量为：G（2015）＝65 627万t.

3.2 货运周转量预测

与货运量预测过程相似，灰色马尔可夫预测模型也可预测货运周转量，见表4.

表4 货运周转量预测比较

由表4可见，货运周转量灰色马尔可夫预测模型的预测精度高于GM（1，1）模型.可预测2015年黑龙江省公路货运周转量为：G（2015）＝925.6亿t·k m.

4 结束语

交通运输体系是一个多因素、多层次、多目标的复杂系统，其中公路货物运输量受多指标因素的影响，具有明显的层次复杂性，结构关系具有模糊性，发展变化具有随机性，因此单一预测模型很难保证预测精度.灰色模型不适合长期的、随机和波动性较大的数据序列，马尔科夫模型适合描述随机波动性较大的预测模型.本文将灰色模型和马尔科夫模型结合，构建灰色马尔科夫预测模型.按特定的状态划分方法，先用灰色模型预测，再用马尔科夫模型对预测结果进行优化.将灰色马尔科夫模型用于黑龙江省公路货物运输量预测，精度比GM（1，1）模型高.目前对原始数据序列的状态划分尚无统一标准，本文将原始数据序列划分为4个状态，对多状态划分的预测模型以及预测精度应进一步深入研究.

［1］王云鹏，杨志发，李世武.基于系统动力学的道路运输量预测模型［J］.吉林大学学报：工学版，2005，35（4）：426－430.

［2］赵淑芝，田振中，张树山.基于BP神经网络的组合预测模型及其在公路运输量预测中的应用［J］.交通运输系统工程与信息，2006，6（4）：108－112.

［3］鄢勇飞，朱顺应，王 红.基于 灰色系统的公路运输量预测方法［J］.武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2010，34（1）：93－96.

［4］黄 虎，严余松，蒋葛夫.基于支持向量回归机的公路货运量预测模型［J］.计算机应用研究，2008，25（2）：632－636.

［5］王金艳.加权马尔可夫模型在公路货运量预测中的应用［J］.数学的实践与认识，2009，39（9）：162－167.

［6］谷远利，曲大义，于 雷.公路运输货运量预测方法研究［J］.物流技术，2008，27（3）：36－38.

［7］刘次华.随机过程及其应用［M］.3版.北京：高等教育出版社，2004.

［8］刘思峰，郭天榜，党耀国.灰色系统理论及其应用［M］.北京：科学出版社，1999.