考虑各种环境经济因素的变质库存控制策略研究

黄 音

（中南大学铁道学院交通运输工程学院 长沙 410075）

0 引 言

近年来，变质商品的库存问题越来越受到国内外研究者的关注.变质库存系统属于典型的耗散结构，不断地从外界引入负熵以抵消系统内正熵的增加，消除或缓解系统内各种矛盾的因素.变质库存系统的开放和流动决定了系统要素之间具有非线性相干作用，引起变质库存中涨落现象有两个：时间因素和经济因素.

Buzacott率先讨论了通货膨胀下的EOQ模型.1979年，Misra［1］首次提出了不同通货膨胀率环境中，常数需求下的库存成本问题.S.Bose［2］等人研究了通货膨胀环境中，线性需求下，允许缺货的变质库存模型.

传统的供应链通货膨胀问题，仅考虑外部通货膨胀率的影响.在现实生活中，通货膨胀率一般分为内部通货膨胀率和外部通货膨胀率两类.内部通货膨胀率的波动变化主要是受公司财务状况的影响.外部的通货膨胀率主要受宏观经济环境的影响.本文同时考虑内外部通货膨胀率及内外部交易价格对变质商品库存补货周期、补货批次及相关库存成本的影响.

1 时变需求下，考虑各种环境经济因素的允许缺货的变质库存模型

1.1 问题描述

本文考虑在通货膨胀环境中，时变需求下，允许缺货的变质库存模型.本文的模型是在Teng［3］，S.Papachristos，K.Skouri［4］的研究基础上提出的，考虑需求随指数变化下，即，D eαt，允许缺货的变质库存模型.

1.2 模型假设与符号说明

1.2.1 数学模型假设 假设提前期为0；该变质库存允许缺货；单位商品价格与当前的通货膨胀率相关；该变质库存的初始库存为0；商品只有进入库存才开始产生变质，库存商品的变质率为常数；所有商品单位时间单位商品库存持有成本相同；假设需求随时间指数增长，即，D eαt.

1.2.2 数学符号说明 H为商品的计划销售期的时间长度；θ为商品的变质率，0≤θ＜1；D eαt为用户对某商品的需求率；r为折扣率；b1为内部通货膨胀率；b2为外部通货膨胀率；r1为折扣率减去内部通货膨胀率，即r－b1；r2为折扣率减去外部通货膨胀率，即r－b2；cp1为内部单位固定交易价；cp2为外部单位变化成交价；ch1为内部单位库存持有成本；ch2为外部单位库存持有成本；cs1为内部单位缺货成本；cs2为外部单位缺货成本；ti（i＝1，2，…，n，0≤t1＜t2＜…＜tn＜tn＋1＝H）为第i次循环时间；si为库存降到0时的时间点，即，缺货点；n为计划期［0，H］内的补货批次.

1.2.3 库存订购模型构建 因为α与rj即rb1的值比较接近，所以，本文对α＝rj和α≠rj两种不同情况下的库存成本情况进行计算和论述.

上述问题中库存的变化可以用以下的微分方程来描述.

边界初始条件为I（si）＝0.解方程（1）得

则第i次循环的库存累积量为

根据Misra的方法得到在第i次循环中，内外部库存的持有成本为

同理可得

同理可得，在第i次循环累积缺货量为

边界初始条件为S（si）＝0.解方程（5）得

当前内外部缺货成本为

第i次循环的订货量为

在计划期［0，H］内，内外部总的商品交易价格为

当前计划期［0，H］内的总库存持有成本为

当α＝rj时，对α－rj和e（α－rj）si－e（α－rj）ti分别用泰勒展开，取拉格朗日余项，得

当前计划期［0，H］内的总缺货成本为

当α＝rj时，对α－rj和e（α－rj）si－e（α－rj）ti分别用泰勒展开，取拉格朗日余项，得

因此，当s0＝0，t1＞0，sn＜tn＋1＝H 时，计划期［0，H］内库存系统总相关成本为：

1）当α≠rj时

现在来确定n，｛si｝，｛ti｝的最优值，可以使得Z（n，｛si｝，｛ti｝）在式（17）、（18）中最小.

1.4 理论分析与结果

本文仅考虑α≠r的情况.同理可推，α＝r的情况.

对于任意给定的n，Z（n，｛si｝，｛ti｝）最小化的充分必要条件为

从式（21）可知，si是介于ti和ti＋1之间的点.如果si＝ti或者si＝ti＋1的话，式（21）不成立.

1.5 近似最优策略及算例分析［5－6］

1.5.1 寻求｛t＊i｝，｛s＊i｝最优解步骤

步骤1 选择2个试验值作为t1的值，分别为然后重新计算tn＋1.

步骤3 给定一个λ＞0，如果tn＋1－H≤λ，则获得最优解｛t＊i｝，｛s＊i｝，停止计算.

步骤4 如果tn＋1－H＞λ，则U＝t1，V＝tn＋1，否则，令L＝t1，M＝tn＋1，转步骤1.

1.5.2 寻求n最优解的方法

步骤1 任意选择一个初始值n，n－1作为订购次数.通过1.5.1确定｛si｝，｛ti｝，并分别计算相应的总成本Z（n），Z（n－1）.

步骤2 如果Z（n）≥Z（n－1），则计算Z（n－2），Z（n－3），…，直到找到Z（k）＜Z（k－1）.令n＊＝k，停止计算.

步骤3 如果Z（n）＜Z（n－1），则计算Z（n＋1），Z（n＋2），…，直到找到Z（k）＜Z（k＋1）.令n＊＝k，停止计算.

1.5.3 算例分析 H＝10，D eαt＝200e0.05t，α＝0.05，cp1＝80，cp2＝5，ch1＝0.2，ch2＝0.4，cs1＝0.8，cs2＝0.6，r＝0.2，b1＝0.1，b2＝0.14，θ＝0.01.

最佳补货批次n＊＝11库存系统总相关成本为14 176.71.

计算过程中的最优补货批次如表1所列，｛t＊i｝，｛s＊i｝值如表2所列.通过方程（20）和（21）可以得到｛si｝，｛ti｝，然后将tn＋1令为新的 M 和V.

步骤1 令

表1 最优补货批次

表2 最优｛t＊i｝，｛s＊i｝

1.5.4 结论与分析

1）如果rj≥0，D eαt是增函数，那么：（1）是单调递减的，例如s1－t1＞s2－t2＞…＞sn－tn；（2）最佳缺货间隔是单调递减的，例如t2－s1＞t3－s2＞…＞tn＋1－sn；（3）最佳补货周期是单调递减的，例如t2－t1＞t3－t2＞…＞tn＋1－tn.

2）当需求随时间递增时，需要缩小补货间隔和缺货间隔，从而缩小补货周期，最终降低库存持有成本，包括变质成本和固有成本，以及缺货成本，从而降低库存系统的相关总成本.

3）参考S.Papachristos，K.Skouri.J.T.Teng，H.J.Chang，C.Y.Dye等关于非通货膨胀环境中，需求随时间变化，允许缺货的变质库存模型研究，可发现，在需求随时间递增的情况下，通货膨胀并不会明显影响库存的补货周期.

4）研究结果跟 Hariga［7－8］出的结果相符合.Hariga证明在需求呈线性变化时，对补货周期不会产生明显影响，本文得出的结论为，当需求函数呈指数变化时，通货膨胀对补货周期不会产生明显影响.因此，在需求随时间变化，需求函数为增函数时，通货膨胀率对补货周期不会产生明显影响.

2 结束语

本文的研究是对传统变质库存理论的深化及扩展更加全面地考虑变质商品企业的库存控制问题，从多角度分析变质商品企业资金流的状况.

在本文模型的基础上进一步考虑以下问题：在考虑通货膨胀因素的同时，可以进一步考虑允许延期支付的情况；可以考虑将确定需求函数扩展到随机波动的需求函数；在用户需求中，进一步考虑销售价格和变质商品质量的影响；进一步考虑变质商品销售过程中，允许数量折扣的情形.此外，还可以进一步扩展到供应链风险的研究.

［1］Misra R B.A note on optimal inventory management under inflation［J］.Naval Research Logistics Quarterly，1979，26：161－165.

［2］Bose S，Goswami A，Chaaudhuri K S.An EOQ model for deteriorating items with linear time－dependent demand rate and shortages under inflation and time discounting［J］.Journal of Operational Research Society，1995，46（6）：771－782.

［3］Teng J T，Chern M S，Yang H L，Wang Y J.Deterministic lot size inventory models with shortages and deterioration for fluct uating demand［J］.Operational Research Letter，1999，24：65－72.

［4］Papachristos S，Skouri K.An optimal replenish ment policy for deteriorating items with time－varying demand and partial——exponential type——backlogging［J］.Operational Research Letter，2000，27：175－184.

［5］朱 泽，张予川，高东旭.随机需求环境下VMI模型研究与应用［J］.武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2009，33（3）：608－616.

［6］张 毅，李金辉，和豪涛.基于时效性目标的应急物资库存策略［J］.武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2010，34（3）：784－792.

［7］Hariga M.Optimal EOQ models for deteriorating items with time－varying demand［J］.Journal of Operational Research Society，1996，47（10）：1 228－1 246.

［8］ Hariga M.The inventory lot－sizing problem with continuoustime－varying demand and shortages［J］.Jour nal of Operational Resarch Society，1994，45（7）：827－837.