考虑订货协调成本与数量折扣的改良品供应链水平协调

张云丰，王 勇，龚本刚，但 斌

(1. 安徽工程大学管理工程学院，安徽 芜湖 241000；2. 重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030)

1 引言

改良品(Ameliorating Items)是指在持有期间，随着时间的推移，自身会发生数量增加、重量增长或质量改善，从而使得经济价值或效用获得提升的一类物品[1-2]。现实生活中有许多改良品的例子，如处于育肥期的生猪、快速生长的家禽、鱼塘中饲养的鱼、基地培植的水果蔬菜、酒庄里储存的高档酒类等都属于改良品的范畴[3]。根据改良品在持有期间呈现出的不同改良特征，又可将改良品的改良现象分为有形改良和无形改良。有形改良是指在持有期间，由于生长或繁殖使得物品数量增加、重量增长而导致经济价值或效用提升的一类改良现象；无形改良虽然在持有期间不会发生数量增加或重量增长，但其质量却随着时间的推移而得到明显提升[4]。改良品在持有期间随时间推移会发生改良现象，因此与其他物品相比较更具有特殊性。Wee等[5]认为少量的改良品订货可凭直觉或经验完成而影响不大，对大规模的改良品订货问题，按照科学合理的方法进行是非常必要的。Chou等[6]指出改良品在存储期的特点与易变质品正好相反，其订货问题值得进行深入研究。

然而，学者们对改良品订货问题的研究起步却较晚。直到1997年，Hwang[1]才首次研究了改良品的库存决策，在假设改良品的改良率服从两参数威布尔分布的基础上，建立改良品补货模型。随后，Hwang[7-8]、Modal等[2,9]、Law和Wee[10]、Wee等[5]、Chou等[6]、Goyal等[11]、Panda等[12]、Vandana和Srivastava[13]基于不同的假设条件，如考虑需求依赖价格、资金时间价值、通货膨胀率、有限计划期、斜坡型需求率等，分别探讨了威布尔分布改良率的改良品库存最优决策问题，而Moon等[3]、Sana[14]、Dem和Singh[15]、Mahata和De[16]则在考虑了时变需求、通货膨胀、交易信用、资金时间价值等因素对库存系统成本影响的基础上，各自构建了常系数改良率下的改良品库存控制模型。国内学者对改良品的研究才开始，着重从供应链协调的视角展开，如王勇等[17]、孙海雷等[18]、张云丰等[4,19]分别探讨了常系数改良率下改良品供应链的协调机制。

改良品与其他物品的不同之处在于持有期间会发生改良现象，而改良率是描述改良现象的关键参数。上述文献在改良率的处理上有两种方式，一是假设改良率服从两参数威布尔分布，另一种则将改良率设置为常系数。无论是何种处理方式，都未有实证数据予以支撑。陈晖等[20]以处于育肥期的生猪为研究对象，通过调研现场数据拟合育肥生猪的改良率曲线后发现，育肥生猪的改良率特征比较复杂，先是呈近似线性下降趋势，接着类似于威布尔分布，后期下降到一个较小值且逐渐减小。销售商库存中的改良品已处于在售状态，因而属于改良末期阶段。在栏生猪育肥是物品发生有形改良使得重量增加的典型案例，联系到育肥生猪在育肥末期改良率的特征，可对处于销售库存系统中该类物品的改良率按常系数作近似处理。

供应链中的不同经济主体在面临决策时，通常会以自身利益最大化作为唯一目标，即使在实现该目标时可能会影响到其他主体或供应链整体的利益。双重边际效应的出现，使得整个供应链系统的利益受损，此时设计适当的协调机制来对供应链中的个体经济行为加以协调则尤为必要。目前，学者们的研究兴趣主要聚焦于供应链上下游节点企业间的垂直(纵向)协调，如生产商与销售商决策行为的协调[21-26]。除此之外，在企业运作实践中，供应链水平(横向)协调也十分常见，如多个销售商之间开展联合补货。通过实施联合补货，销售商可以分摊订货成本，提高与上游供应商谈判的话语权，容易争取到更多的折扣价格优惠，最终有利于实现规模经济。联合补货的局限性在于参与联合补货的销售商需要改变自身原先的采购节奏，产生额外的订货协调成本，并且当较多的销售商加入到联合补货组织时，会导致生产运作速度变慢，采购业务的效率大大降低。Zhang Jiawei[26]指出联合补货的订货协调成本通常会随着采购组织中参与人员数量的增长而增加。张云丰等[28]设计了销售商联合补货的协调成本函数，但文中尚存在两点不足之处：一是所设计的订货协调成本函数中增加的协调成本与增长的销售商数量是正比例关系，过于简单；二是虽然考虑了持续补货对改良品供应链系统成本的影响，却在对销售商成本函数作近似处理过程中忽略了补货速率的影响。本文遵循张云丰等[28]的研究思路并进一步完善其研究，主要不同点在于：一是设计更为合理的订货协调成本函数；二是充分体现补货速率对供应链系统成本的影响；三是提出基于博弈核心的利润分配方法。

2 基本假设与符号说明

2.1 基本假设

本文建立的改良品供应链协调模型基于以下基本假设：

(1) 单个供应商和多个销售商构成二级改良品供应链；(2) 只涉及一种改良品的订货决策；(3) 不允许销售商缺货；(4) 考虑无限个订货周期；(5) 提前期忽略不计；(6) 需求率已知且均匀稳定；(7) 供应商采用持续补充模式；(8) 改良率为常系数；(9) 持有期间改良的部分占有库存；(10) 供应商提供等级折扣价格策略；(11) 每个销售商独立补货时具有相同的订货成本。

2.2 符号说明

本文建立的改良品供应链协调模型设定如下符号：

Di：第i个销售商的市场需求率，i=1,2,…,n；

R：供应商提供的统一补货速率，R>Di；

K：销售商独立补货时的订货成本；

KJ：销售商联合补货时的订货成本，KJ>K；

Hi：第i个销售商的单位存储成本；

Ci：第i个销售商的单位改良成本；

ωi：销售商i独立补货时的单位批发价格，ωi>Ci；

ωJ：销售商联合补货时的单位批发价格，ωJ>Ci；

p0：改良品在市场上的单位销售价格；

λ：改良品的净改良率；

3 模型

3.1 独立补货模型

设第i个销售商的一个补货周期长度为Ti，从t=0时刻开始补货，在补充、改良与需求的共同作用下，库存逐渐增加，至t=ti时刻持有的库存水平达到最大值；随后供应商停止补货，库存在改良与需求的影响下慢慢减少，在t=Ti时刻达到最小值零。接着，第二轮补货开始。第i个销售商独立补货的模型图如下图1所示。

图1 独立补货模型图

第i个销售商在一个补货周期内任意时刻持有的库存水平Ii(t)满足微分方程

(1)

其中，n取自然数。

结合边界条件Ii(0)=0与Ii(Ti)=0，运用常数变易法求解式(1)，得到

Ii(t)=

(2)

当t=(n-1)Ti+ti时，有(R-Di)(eλti-1)/λ=Di(1-eλ(ti-Ti))/λ成立。直接求解ti与Ti之间的表达式很困难，这里借鉴Sivashankari等[29]的处理方式，将式中的指数函数进行泰勒展开，并取其前两项，得到ti=DiTi/R。

第i个销售商在一个补货周期Ti的总成本包括订货成本、采购成本、存储成本、改良成本四个部分，分别为：

(1) 订货成本

=K；

(2) 采购成本

(3) 存储成本

(4) 改良成本

从而，第i个销售商的单位时间利润表达式为

(3)

命题1 第i个销售商独立补货时的最佳订货周期与最大单位时间利润分别为

其中，Hi+λCi-λωi>0。

第i个销售商的最优订购数量为

(4)

当R→+∞，即供应商的补货速率无穷大，便可得到瞬时补充下第i个销售商的最佳补货周期和最大单位时间利润。此时有

将第i个销售商在持续补充与瞬时补充下的最大单位时间利润进行比较，有

因此，持续补货能够获得比瞬时补货更大的单位时间利润。n个销售商在独立补货下的最大单位时间总利润为

(5)

3.2 联合补货模型

设n个销售商组建采购联盟N，共同决策补货周期TJ。采购联盟N需要协调每个销售商的补货计划，并因此产生相应的订货协调成本。在此，假定采购联盟N总的订货协调成本函数为KJ=Knφ，其中φ表示协调成本系数且φ>0，n表示采购联盟中成员的数量。由dKJ/dn=φKnφ-1>0知随着参与联合补货的销售商数量增长，整个采购联盟的订货协调成本也在增加。当d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2<0时，即φ<1，表示任意销售商加入到采购联盟的边际协调成本递减；当d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2>0时，即φ>1，表示任意销售商加入到采购联盟的边际协调成本递增；当d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2=0时，即φ=1，表示任意销售商加入到采购联盟的边际协调成本不变。

(6)

命题2 若n个销售商联合补货，则采购联盟N的最佳订货周期与最大单位时间总利润分别为

证明：将式(6)对TJ分别求一阶、二阶导数，有

采购联盟N的最优订购数量为

(7)

当R→+∞，即供应商的补货速率无穷大，便可得到瞬时补货下采购联盟N的最佳补货周期和最大单位时间总利润。此时有

联合补货时，采购联盟N在持续补充与瞬时补充下的最大单位时间总利润差值为

3.3 两种补货模式比较

(8)

在式(8)中，考虑联合补货模式下单位产品批发价格ωJ和协调成本系数φ对ΔΠ的影响。由于采购联盟N在联合补货时的订货数量通常大于任一销售商在独立补货时的订货数量。因此，在供应商提供数量折扣策略下一般有ωJ≤ωi成立。在联合补货时，采购联盟N需要协调各个销售商的行动，并产生相应的订货协调成本，所以联合补货会使得订货成本KJ大于独立补货时的订货成本K。协调成本系数φ反映了采购联盟N在联合补货时的订货协调成本大小。如果协调成本系数φ较大，表示采购联盟N对各个销售商的协调变得比较困难，可能导致联合补货获得的价格节约不足以补偿订货协调成本的增加。为了确保联合补货优于独立补货，协调成本系数φ需满足下列条件。

命题3 在由单个供应商和n个销售商构成的二级改良品供应链中，联合补货优于独立补货的充要条件是协调成本系数φ需满足

φ<

(9)

证明：当ΔΠ>0时，联合补货优于独立补货。由式(8)知应满足

在供应商提供等级折扣价格时，式(9)中ωi/ωJ是订货数量的函数，需要通过试错法来确定。设供应商提供的m等级折扣价格函数为

4 联合补货博弈

4.1 问题描述

虽然联合补货能获得比独立补货更大的单位时间总利润，但尚不足以保证所有的销售商都会加入到采购联盟N中来，除非每一位销售商都能够获得不小于自己在独立补货下的单位时间利润，如此才能让每一位销售商有动力参与联合补货，从而实现利润的增加。

本文以联合补货的最大单位时间总利润作为分配对象，将联合补货的利润分配转换成多人合作博弈的收益分配问题。以N={1,2,…,n}表示n个销售商的集合，称为全联盟。函数Φ:2N→R为分派给任意非空子联盟S⊆N的特征函数，且Φ(φ)=0，Φ(S)称为联合补货博弈(N,Φ)中子联盟S的最大单位时间总利润。联合补货博弈需要解决的问题是在全联盟成立后，如何将整个联盟的最大单位时间总利润Φ(N)合理分配给每位销售商。

定义1 对任意的S⊆N，子联盟S的利润是最大化联盟在联合补货时所产生的单位时间总利润。改良品联合补货博弈(S,Φ)可定义为

(10)

其中，s表示子联盟S中销售商的数量，以此类推。

4.2 基本性质

性质1表明，在联合补货博弈中，当协调成本系数满足一定条件时，采购联盟的规模越大，其补货的最佳订货周期越短。因而每位销售商持有的最大库存量将减少，平均库存水平也因此随最佳订货周期的缩短而降低，使得单位时间承担的库存成本降低。因此，参加采购联盟进行联合补货有利于每位销售商提高企业利润水平。

性质2 对任意的采购子联盟S,G⊆N

证明：

Φ(S∪G)-(Φ(S)+Φ(G))

显然，若有

性质2表明，当协调成本系数满足一定条件时，联合补货博弈(N,Φ)具有次可加性，合作是有益的。对各销售商而言，联合补货的最大单位时间总利润将大于独立补货的最大单位时间利润之和。从理论上来说，只要采取合适的利润分配方案就能够使所有的销售商实现利润的帕累托改善。

证明：对任意的S⊂G⊂N{l}，有

欲证Φ(G∪{l})-Φ(G)>Φ(S∪{l})-Φ(S)，即

对不等式两边平方并消去公因子2K，得到

性质3表明，当协调成本系数满足一定条件时，销售商对所属采购联盟的边际利润随着采购联盟规模的增大而增大，任意一个销售商或子联盟加入另一个不相连子联盟的动机随着联盟成员的增多而增大。所以，每位销售商都有动机组建采购联盟，并且倾向于加入成员较多的采购联盟，这样不仅能够分摊订货成本，而且有可能由于订货批量的增大而享受更低的折扣价格，从而获得更多的单位时间利润。

4.3 利润分配方案

子模博弈的核心非空且是其边际向量的凸组合，夏普利值是核心的重心，然而核心是一个集合概念，并不是唯一的分配方案，且夏普利值的计算比较复杂，随着联盟参与人数的增加，其计算复杂度呈指数型增大[30]。因此，下文将设计一种属于核心且易于计算的单值利润分配方案。将全联盟N的最大单位时间总利润Φ(N)表示为

=Φ(S).

性质4表明，利润分配方案ψ是一个公平且稳定的分配方案，这时没有任何销售商从全联盟中撤出组建自己的联盟，没有任何子联盟有动机从全联盟中分离出来。

5 数值算例

5.1 参数设置与求解

在由单个供应商和三个销售商组成的二级改良品供应链中，相关参数设置如下：D1=700千克/月，D2=800千克/月，D3=900千克/月，R=2000千克/月，H1=H2=H3=4.0元/千克·月，C1=C2=C3=12.0元/千克，K=200元，φ=0.5，λ=0.10，p0=25元/千克。供应商提供的等级折扣价格为：

ωJ(Q)

设三位销售商组建采购联盟N，共同决策订货周期，向改良品供应商进行联合补货，则N={1,2,3}，S可取{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}或{1,2,3}。将上述各项参数代入式(9)进行检验，易知当φ=0.5时，任意两位及以上销售商组建采购联盟进行联合补货都比各自独立补货更优。对每一个子联盟S，结合所设置的参数，得到下表1所示计算结果。

由表1数据可知，子联盟的最佳订货周期随着子联盟规模的增大而逐渐减小，但子联盟的最优订货批量却随着子联盟规模的增大而逐渐增加。任意两个及以上的销售商联合补货所获得的最大单位时间总利润都会大于他们独立补货时的最大单位时间利润之和。在现有的参数设计下，联合采购优于独立采购，并且采购联盟的规模越大，联合补货的优势越明显。

表1 子联盟订货参数

5.2 敏感性分析

下面分别考虑净改良率λ、补货速率R与协调成本系数φ发生变化时对各销售商在独立补货与联合补货中最大单位时间利润的影响，具体结果如表2-表4所示。

表2 净改良率的敏感性分析

由表2数据可知，当单位改良成本小于批发价格时，无论是独立补货还是联合补货，三位销售商的最大单位时间利润都随着净改良率的增加而增加。此时，销售商们更倾向于通过改良而不是直接采购来满足需求。三位销售商在联合补货中分配的最大单位时间利润都明显高于在独立补货下的最大单位时间利润，主要原因来自于两方面：一是在联合补货中每位销售商分摊的订货协调成本比独立补货时小(独立补货下三位销售商的总订货成本为600元，而在联合补货中三位销售商的协调成本只有346.4元)；二是每位销售商都享受到供应商提供的等级折扣价格，采购成本大幅度下降(每位销售商独立采购时的批发价格是18元/千克，联合补货时单次订货批量增加较多，从而享受到16元/千克的折扣价格，节约了采购成本)。最后，随着改良率的增加，每位销售商在联合补货与独立补货中获得的最大单位时间利润差值逐渐减小，这是由于联合补货的最佳订货周期比任何一位销售商独立补货的最佳订货周期都短，因此持有期间改良品的改良量相对较少，而单位改良成本小于批发价格，所以联合补货在物品改良这部分增加的利润比独立补货要少。

由表3数据可知，三位销售商无论是采取独立补货还是联合补货，其获得的最大单位时间利润都随着补货速率的增加而减少。当补货速率逐渐增加时，会导致最佳订货周期慢慢缩短，最优订货数量也在减少，周期平均存储数量渐渐减少，如此使得单位时间的订货成本增加而单位时间的存储成本减少，最终导致各位销售商的最大单位时间利润下降。在补货速率增加的过程中，若刚好使得销售商的最优订货数量下降到上一等级折扣价格对应的数量区间时，销售商的最大单位时间利润就会产生较大幅度的下降。极端情况下，若补货速率趋向于无穷大，即瞬时补货下，每位销售商的最大单位时间利润都下降到极小值。

表4 协调成本系数的敏感性分析

由表4数据可知，协调成本系数的变化只对销售商在联合补货下的最大单位时间利润产生影响，而不会改变独立补货时的利润水平。随着协调成本系数的增加，三位销售商在联合补货中分配的最大单位时间利润不断减少。可以预见的是，随着协调成本系数的进一步增加，很快使得某位销售商在联合补货中分配的最大单位时间利润小于其在独立补货下的最大单位时间利润，该销售商会率先退出采购联盟，并最终导致采购联盟瓦解。根据命题3，可计算出本算例中协调成本系数的最大值maxφ≈2.98，即协调成本系数大于2.98时，三位销售商在联合补货中获得的最大单位时间总利润将小于独立补货获得的最大单位时间利润之和，导致至少一位销售商在加入采购联盟后分配的利润水平小于其独立补货。另外，表4数据表明，协调成本系数并非越小越好，如φ=0.0时各位销售商分配的最大单位时间利润就比φ=0.5时小。这是因为较小的协调成本系数对应着较小的最佳订货周期，意味着采购联盟的最优订货数量较少，则有可能享受不到供应商提供的较为理想的折扣价格，从而导致销售商的利润水平大幅下降。

6 结语

本文的研究是对张云丰等[27]的完善和补充，讨论了供应商提供持续补充方式与等级折扣价格下多销售商的补货决策问题，将销售商在独立补货与联合补货两种补货模式的最大单位时间利润进行了比较。文中考虑了组建采购联盟进行联合补货时存在协调成本的影响，设计接近企业运作实际的协调成本函数。在得到联合补货优于独立补货充要条件的基础上，将销售商之间的联合补货行为转化成多人合作博弈问题，证明博弈具有的基本性质，设计基于博弈核心的利润分配方法。最后通过一个数值算例对文中给出的相关结论进行验证。

论文证明联合补货博弈所具有的几条基本性质是以协调成本系数满足特定条件为前提的。本文研究结论的实践意义在于，当组建采购联盟进行联合补货的协调成本小于特定值时，销售商们联合补货要优于独立补货，并且采购联盟的规模越大，每位销售商能够从联合补货中获得的单位时间利润就越大。

文中在推导供应商的周期补充时间与销售商的订货周期之间的函数关系时，借鉴了Sivashankari等[28]的处理方式，将指数函数进行泰勒展开并只取其前两项。这是一种简单的处理方式。这种做法与泰勒展开时取前三项相比存在一定的误差，但在净改良率与订货周期较小时(如取λ=0.10、T=0.5，相对误差为0.12%)，所产生的误差可以忽略不计。