带有线性佣金率的密闭式拍卖模型研究

杨卫星，刘树林

(1.对外经贸大学 国际经济贸易学院，北京 100029；2.北京化工大学 理学院，北京 100029）

0 引言

近几年来，拍卖这种解决资源和服务分配的有效配置方式得到了广泛的应用。很多古董、艺术品都使用拍卖的方式进行交易。特别是近年来，各国政府越来越多地使用到拍卖机制，比如通过拍卖市场实现国有企业的产权置换；通过拍卖在电信、电力、天然气、交通等基础设施产业引入适当竞争；通过拍卖机制实现政府采购；私人部门也更多地通过拍卖转让资产所有权、采购原材料等。

对拍卖机制理论的研究最早可追朔到1961年Vickery[1]的工作，在随后的几十年里，拍卖理论及其应用得到了蓬勃的发展。最具里程碑的工作是1981年Samulson[2]的收益等价定理以及1982年Weber[3]的排序定理。在他们的基础上，无论是理论上还是应用上都有了很多新的突破，如1987年McAfee[4]和1992年McMillan[5]的工作。以及对石油、天然气、矿藏的开采权及森林的砍伐权的拍卖理论与实践的研究，如1994年 Hendrick[6]和 1997年 Baldwin[7]的工作。

现有的大部分文献分析的都是买卖双方的策略，但在具体的拍卖实践中，拍卖的进行必须要有第三方，即拍卖行的参与。卖方要想通过拍卖获得较高的成交价，必须把拍品委托给拍卖行，拍卖行承担拍卖并按一定的比率收取佣金。2004年王彦等人[8]把佣金率引入一级和二级价格密封式拍卖中，得到结论：在私人估价模型下，当拍卖行收取的佣金率增加时，投标者的报价减少，进而卖方的预期收益降低，拍卖行的预期收益却增加；卖方在一级和二级价格密封式拍卖中获得的预期收益相同，因此，收益等价定理仍然成立。2005年毕志伟和王彦[9]进一步考察了在关联价值拍卖模型下的一级和二级价格密封式拍卖，讨论了佣金率对投标者的报价和卖方预期收益的影响。假设佣金率与成交价之间是线性关系(这个假设是很合理的，而且很符合拍卖的实际情况)，Wang（2006）[10]研究了在私人估价模型下的一级(只考虑均匀分布的情形)和二级价格密封式拍卖的均衡投标策略，并与佣金率为固定比例的情况做了比较。

为了使模型更加符合实际，本文将继续假设佣金率与成交价是线性关系。在文献[10]的基础上，给出一般分布下的一级价格密封式拍卖的均衡投标策略；分别求出在一级和二级价格密封式拍卖中，投标人、卖方和拍卖行的预期收益，并与不带佣金率和固定佣金率的情况分别做比较；进一步还考察线性佣金率的两个系数分别对均衡投标策略、投标人的预期收益、卖方的预期收益、拍卖行的预期收益的影响。以期完善文献[10]的工作，丰富带有线性佣金率的拍卖模型的结果。

2 假设和记号

假设卖方有一个不可分割的拍品，个投标者分别记为1，2，…，n。每个投标者i仅知道自己对拍品的估价vi，卖方、拍卖行和其他的投标者不知道vi的具体值，把它看作一个随机变量。所有投标者的估价独立地服从相同的概率分布函数F（v），分布区间为其密度函数f(v)是正的、连续可微的，且满足条件

假设拍卖行设定一个线性的佣金率，k=k0=k1b，此处k1＞0，k≥0，b 表示报价，0≤k≤k0，k0表示法律允许的最大佣金率（在我国一般为5%）。假设佣金由投标人支付，卖方选择一级价格密封式拍卖或者二级价格密封式拍卖出售拍品，每个投标者根据自己的估价决定自己所报的价格。对于对称的投标者（他们的估价分布函数相同），我们寻找对称的贝叶斯-纳什均衡投标策略。投标人，卖方和拍卖行是风险中性的，他们的目标都是最大化其预期收益。

在以下的讨论中，b1(v)、分别表示在一级价格密封式拍卖中，投标人的均衡投标策略、卖方的预期收益和拍卖行的预期收益；b2(v)、分别表示在二级价格密封式拍卖中，投标人的均衡投标策略、卖方的预期收益和拍卖行的预期收益。

2 均衡报价策略①

①王彦[10]只讨论了均匀分布的情况，其研究结果均是本节的特例。

王彦在文献[10]中研究了二级价格密封式拍卖，并得到了以下的引理。

引理[10]在二级价格密封式拍卖中，当采取线性佣金率k=k0-k1b时，均衡报价策略为，且

关于一级价格密封式拍卖，文献[10]只考虑了均匀分布的情况，下面考虑一般分布的情况。

设投标人有递增的均衡投标函数b1(v)，当某投标人的私人估价为v而报价为b1(t)（即按照私人估价为t来报价）时，他的预期收益是π=[v-(1+k0-k1b1(t)b1(t)]Fn-1(t)。预期收益?极大化的一阶必要条件为即

从而有

令 B(v)=(1+k0-k1b1(v))b1(t)，则（1）式化为[v-B(v)]，在下面的讨论中，方便起见，记 G(v)=Fn-1(v)，g(v)=G'(v)=(n-1)Fn-2(v)f(v)，则（1）式又可简化为即

②此处的B(v)和文献[4]中的均衡投标策略一致，即和不考虑佣金时的均衡投标策略一致。

当 Δ=(1+k0)2-4k1B(v)≥0 时，即(1+k0)2≥4k1B(v)时，方程（4）的解为

从而有下面的结论1。

结论1：带有线性佣金率k=k0-k1b的一级价格密封式拍卖的均衡报价策略为：

从（5）式还可以计算出

从而有下面的结论2。

结论2：在带有线性佣金率k=k0-k1b的一级价格密封式拍卖中，截距项k0越大，投标人报价越低；而斜率项k1越大，投标人报价越高。

这个结论和实际是相符的，当k0变大，或k1变小时，都会导致佣金率变大，因此投标人需要支付的佣金更多，导致投标人报价更加谨慎。

王彦等[8]得出，当采取固定的佣金率k时，一级价格密封式拍卖中投标人的报价策略为：

计算得出下面的关系式：

从而可以看出，当投标人对拍品的估价充分大时，采取线性佣金率对卖方是有利的。因此，在拍卖实践中，对于一些昂贵的拍品，应该采取线性的佣金率而不是固定不变的佣金率。

3 收益比较

3.1 卖者的收益

当采取线性佣金率时，在一级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益为③其中v[1,n]表示v1,v2,…，vn中的最高统计量，f1,n(v)表示v[1,n]的密度函数。：

同理，在二级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益为④其中v[2,n]表示v1,v2,…，vn中的次高统计量，f2,n(v)表示v[2,n]的密度函数。：

显然，此时收益等价原理不再成立，下面比较二者的大小。

当 n充分大时，可以得出 n(1-F(v))＞1，从而有 f2,n＞nFn-1(v)f(v)=f1,n(v)，结合的表达式可以得出总结为下面的结论3。

结论3：当采取线性佣金率时，收益等价定理不再成立。但是，当投标人数比较多时，卖者应该采取第二价格拍卖。

下面考察佣金率的系数k0和k1分别对卖者预期收益的影响。前面的讨论已经得出

从而有

据此可得下面的结论4。

结论4⑤此结论和王彦[8]的结论一致。：在一级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益k0和k1负相关，但和k1正相关；关于二级价格密封式拍卖，也有同样的结论。

此结论和实际是相符合的，当变大，或变小时，都会导致佣金率变大，导致投标人报价降低，这样会降低卖者的收益。

3.2 拍卖行的收益

当采取线性佣金率时，在一级价格密封式拍卖中，拍卖行的预期收益为：

二级价格密封式拍卖中，拍卖行的预期收益为：

结论5：在带有线性佣金率k=k0-k1b的一级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益减少，减少的部分恰好是拍卖行获得的预期收益。关于二级价格密封式拍卖，也有同样的结论。

下面考察佣金率的系数k0和k1分别对拍卖行预期收益的影响。同样因为

从而有

据此可得下面的结论6。

结论6⑥此结论和王彦[8]的结论一致。：在一级价格密封式拍卖中，拍卖行的预期收益和正相关，但和负相关；关于二级价格密封式拍卖，也有同样的结论。

此结论和实际是相符合的，当变大，或变小时，都会导致佣金率变大，从而给拍卖行带来更多的收益。

3.3 投标人的收益

在带有线性佣金率的模型中，一级价格密封式拍卖中投标人的预期收益为

二级价格密封式拍卖中投标人的预期收益为

从而有下面的结论7。

结论7：当带有线性佣金率k=k0-k1b时，投标人在一级和二级价格密封式拍卖中获得的预期收益相等，且与线性佣金率中的系数k0和k1均无关。

进一步和文献[4]中不带佣金率的模型以及文献[8]中带有固定佣金率的模型比较发现，这几个模型中，投标人的预期收益完全相等。从而可知，投标人不必为佣金比例的高低担心，因为随着佣金比例的调整，投标人的报价策略会做相应调整，从而使得投标人的预期收益保持不变。

4 结论

在现实拍卖中，卖方一般不能直接拍卖持有的物品，而是通过委托拍卖行对物品拍卖，拍卖成功后，由投标人按事先约定的佣金比例支付给拍卖行佣金。目前国内研究佣金率的文献非常少，王彦等在文献[8]中考虑了一个固定的佣金比率，在文献[10]中假设佣金率是报价的线性函数，这个假设和实际非常相符，但文献[10]中对第一价格拍卖的研究只考虑了均匀分布这样一个特殊情况，有很大的局限性。

本文在文献[10]的基础上，求出了基于一般分布的一级价格密封式拍卖的均衡报价策略，并且发现截距项k0越大，投标人报价越低；而斜率项k1越大，投标人报价越高。当投标人对拍品的估价充分大时，采取线性佣金率对卖方是有利的。因此，在拍卖实践中，对于一些昂贵的拍品，应该采取线性的佣金率而不是固定不变的佣金率。

本文还求出了卖者、拍卖行、投标人三方的预期收益。并且发现当采用线性佣金率时，收益等价定理不再成立，卖者的预期收益减少，减少的部分恰好是拍卖行获得的预期收益。这个结论揭示了佣金支付的实质：表面上看，佣金是由投标人支付的，而实际上，拍卖行所获得的佣金正好是不考虑佣金支付时卖方预期收益的减少。

本文还得出，当投标人数比较多时，卖者应该采取第二价格拍卖的形式。无论是一级还是二级价格密封式拍卖，卖者的预期收益和k0负相关，但和k1正相关；拍卖行的预期收益和k0正相关，但和k1负相关。

本文还发现，投标人在一级和二级价格密封式拍卖中获得的预期收益相等，且与线性佣金率中的系数k0和k1均无关。进一步研究得出，对于投标人来说，有没有佣金提成，以及佣金比例的高低，其预期收益都不变。因此，实际拍卖中，投标人不必为佣金比例的高低担心，因为随着佣金比例的调整，投标人的报价策略会做相应调整，从而使得投标人的预期收益保持不变。

[1]Vickrey,W.Counterspeculation,Auctions,and Competitive Sealed Tenders[J].The Journal of Finance,1961,(1).

[2]Riley,J.G.,W.F.Samuelson.Optimal Auctions[J].American Economic Review,1981,(3).

[3]Milgrom,P.R.，R.J.Weber.A Theory of Auctions and Competitive Bidding[J].Econometrica,1982,(5).

[4]McAfee,R.P.,J.McMillan.Auctions and Bidding[J].Journal of E-conomic Literature,1987,(2).

[5]McAfee,R.P.，J.McMillan.Bidding Rings[J].American Economic Review,1992,(82).

[6]Hendricks,K.,Porter R.,Wilson C.Auctions for Oil and Gas Leases with an Informed Bidder and a Random Reservation Price[J].Econometrica,1994,(62).

[7]Baldwin LH,Marshall R.C.,Richard J-F.Bidder Collusion at Forest Service Timber Sales[J].Journal of Political Economy,1997,(105).

[8]王彦,毕志伟,李楚霖.佣金收取对拍卖结果的影响[J].管理科学学报,2004,(3).

[9]毕志伟,王彦.考虑佣金的关联价值拍卖模型[J].管理科学学报,2005,(3).

[10]Wang,Y.Commission Strategy of the Auction House[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,2006,(11).