指标体系权重选择：一个基于DEA视角的探讨

秦 青

（河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471003）

0 引言

对决策单元的综合评价是管理科学的常见问题，其中往往需要建立一个多层次指标体系，确定各指标权重，然后以线性加权或几何加权方式将这些指标合成一个综合评价值，最后输出评价结果。以上工作流程中，权重的选择是个关键，评价对象和指标体系一旦确定，综合评价结果就直接依赖于权重，必须根据问题特点选择合适的赋权方法。

所谓权重，是对指标体系中各指标相对重要性的主观或客观度量，由此引出两类赋权方法，一类是“功能驱动”的主观赋权法，根据人们主观上对各指标的重视程度来确定权重，如德尔菲法、层次分析法（AHP）、模糊综合评价法等；另一类是“差异驱动”的客观赋权法，根据各指标提供的信息量大小来确定权重，由于信息量通常被理解为一个指标的变异程度或方差，因此波动程度较大的指标一般会取得较大权重，如方差赋权法、主成分法、聚类分析法等。主观和客观两类赋权方法各具特色，主观赋权法能充分吸收相关领域专家的知识和经验、体现决策者偏好，但以人的主观判断作为赋权基础不完全合理；客观赋权法依赖指标的实际数据确定权重、排除了人为因素干扰，但所得权重有时与指标的实际重要性相悖，因此，实践中不乏两类方法结合使用的例子，如AHP与主成分法相结合[1]，AHP与聚类分析相结合[2]等。

然而，这些赋权方法的共性是“均一化”加权，权重系数一旦确定，就适用于所有决策单元，即所有单元使用同一组权重计算综合评价值。这固然使计算变得简单，但也在某种程度上降低了评价的最优性和公正性。本文认为，对某些综合评价问题可借助DEA方法实现“非均一化”加权，能得到更为公正的评价结果。

1 DEA方法简介

DEA（数据包络分析）是测度决策单元（简称DMU）相对效率的运筹学方法，最早由Charnes、Cooper、Rhode1978年提出[3]。

设有n个同类DMU，均使用r种投入生产s种产出。记DMUi的投入向量为 Xi=(xi1,xi2，…，xir)T，产出向量为 Yi=(yi1,yi2,…，yis)T，则DMUi的效率等于总产出与总投入之比其中ui=(ui1,ui2,…，uis)T是用于加总s项产出的权重向量，vi=(vi1,vi2,…，vir)T是用于加总 r项投入的权重向量，ui，vi待定。

如果所有DMU使用相同的生产函数且形式已知，则ui,vi理论上可以唯一确定并适用于所有单元，但事实上被评价的DMU即使是同类型或相似的，其外部环境、内部结构也不会完全相同，造成生产函数的差异。生产函数的差异意味着不同的DMU拥有不同的最优要素组合方式或产品组合方式，此时再用同一组ui,vi来衡量它们显然有失公允。不妨用一个简单的例子说明：设甲、乙两省生产同一种产品，都以资本和劳动为投入要素，但两省在要素价格上有微小差别，甲省的劳动力较乙省便宜但资本稍贵，此时甲省会用较便宜的劳动替代资本，使甲省生产函数的劳动密集程度略高于乙省（如甲省为中部人口大省，乙省为沿海发达省份）。显然，计算甲省生产效率时两个投入项权重应为（甲省资本价格，甲省劳动力价格），计算乙省效率时权重应为（乙省资本价格，乙省劳动力价格），两组权重明显不等。因此，对同类型决策单元进行效率评价时，事实上并不存在一组ui,vi的固定取值，能使所有决策单元觉得公平。公平的权重应为变权，即非均一化加权，由评价者针对每个决策单元特点选择“最合适”的权。

DEA方法认为，测度DMUi(1≤i≤n)效率时最合适的权就是使其效率最大化的权，即下述问题的最优解：

模型第一个约束条件是一个自然的规范性要求，将所有决策单元效率限制在区间内，方便比较。由于模型⑴是分式规划，难以求解，可利用Charnes-Cooper变换转化为等价的线性规划：

从模型⑴、⑵可见，DEA方法为每个DMU选择了最有利于它的权，如果改用其他权重，只会使效率评价值下降或不变。本文认为，这一赋权原则体现了公平性和客观性，公平性是因为每个DMU都能实现效率最大化，客观性是因为最优权重将由模型内生地决定，避免了人为确定权重的主观性和随意性。由于DEA方法具有的良好性质，下面试图将其引入指标体系的赋权问题，并构建相应的模型与算法。

2 基于DEA的赋权模型与算法

设进行综合评价时已建立一个递阶层次结构的指标体系，总的综合指标被分解为若干一级指标，每个一级指标又包含若干二级指标。由于高层指标是低一层指标的综合，低层指标是高一层指标的分解，因此计算DMU综合评价值的流程是：先对二级指标加权求和获得相应的一级指标，再对一级指标加权求和获得最终评价值。

我们先考虑一级指标的赋权。一级指标是对整体进行的第一层分解，按照指标体系的构建原则，这一步应该而且能够将整体划分为几个主要部分，使各部分之间相对独立。例如社会大系统可划分为政治子系统、经济子系统和文化子系统，三个子系统的运行机制大不相同，可以认为是相互独立的，令每个子系统对应一个指标，就得到第一层的三个一级指标。由于三者都是整体不可或缺的部分，且均属人为构造的抽象指标，并不属于现行统计指标体系、没有现成数据可得，因此很难用客观方法赋权，对其相对重要性的判断应主要取决于评价者的主观认知或个人偏好，可使用德尔菲法、层次分析法等主观赋权法。

下面考虑一级指标下属二级指标的赋权。首要问题是如何处理指标之间的相关性，二级指标是对一级指标的分解，因为都反映整体某方面特征，彼此之间往往有较强相关性，需使用主成分分析、因子分析等方法处理，比较繁琐，DEA方法则能避开这个问题，在DEA的框架内指标有相关性是正常的，不影响分析结果；进一步地，DEA虽能避开相关性问题，但DEA的特点是非均一化加权，用在此处是否合理？本文认为，综合评价的目的是区分优劣，权重的选择应有助于此，常用的客观赋权法给方差较大的指标较大权重，相当于选择了一组最能区分各DMU的权重[4]，但事实上变权也能达到同样效果，如果我们让每个DMU选择最有利于自己的权重，如果计算出的综合评价值仍落后于他人，这个差距就是实实在在的，无法再归因于赋权不当。从这个意义上讲，二级指标的非均一化加权是合理的。下面我们将二级指标的赋权问题放在DEA框架下讨论。

设待评价集合包含n个同类DMU，一个DMU就是一个复杂生产系统，由m个子系统构成，每个子系统对应指标体系中一个一级指标。 记一级指标为A1,…，Am，其中Ai（1≤i≤m）下属ki个二级指标Bi1,Bi2…，Biki

对于子系统 Ai，建立 DEA模型，评价 DMUjo(1≤j0≤n)的相对效率：

模型产出项：Bi1,Bi2,…，Biki。

模型投入项：设为常数I≡1，即所有DMU的投入项均为1。

使DMUjo(1≤j0≤n)效率最大化的权重为下述模型的最优解：

模型⑷的含义很直观，对二级指标Bi1,Bi2,…，Biki赋权时，最有利于DMUj0权就是使其加权和最大的权，这个加权和正是DMUj0在一级指标Ai上的得分，由于模型中存在约束性条件，所有DMU的Ai得分都将在[0,1]区间内取值。

以模型⑷为基础，我们进一步构造出以下算法，解决整个指标体系的赋权问题：

第一步，二级指标的预处理。由于模型⑷将二级指标视为生产系统的产出项，根据DEA思想，产出项应该是正指标、越大越好，如果是逆指标，应以取倒数方式做正向化处理

第二步（非均一化加权），对 Ai(i=1，2，…，m)下属的二级指标赋权。求解形如⑷的线性规划，分别求出每个DMU的最优权重以及相应的Ai得分（得分限于0～1之间）；

第三步（均一化加权），对一级指标A1，…，Am赋权。使用主观赋权法如层次分析法等，要求权重向量(λ1,λ2，…，λm)满足归一化条件 λi≥0(i=1，2，…，m)

第四步，对一级指标加权求和，求出每个DMU的综合评价值。因一级指标得分在[0,1]之间，一级指标权重又满足归一化条件，因此综合评价值也在[0,1]之间。

3 应用实例

我们借用文献[5]中的指标体系与实际数据，对上述算法的有效性进行验证。指标体系见表1，共包含7个一级指标和22个二级指标；评价对象为2008年中部六省。

第一步，从问题的实际背景看，二级指标中的B51、B52、B63、B72可确定为逆指标，需对相应的数据做倒数变换。

第二步，将数据代入模型⑷，对A1下属的5个二级指标B11,B12,B13,B14,B15赋权，分别求出每个DMU的最优权重，计算相应的得分。结果见表2。

表1 新型工业化水平评价指标体系

表2 A1下属的二级指标赋权情况及A1得分

用同样的方法处理 Ai(i=2，3，…，7)下属的二级指标，权重的计算结果从略，表3只列出6个DMU的Ai得分。

第三步，用层次分析法对一级指标A1,A2,…，A7赋权，层次分析法的实现步骤参见文献[5]，这里直接借用其计算结果，将权重向量定为（0.369，0.038，0.109，0.225，0.155，0.078，0.026）。

第四步，对一级指标加权求和，求出6个DMU的综合评价值，见表3。

通过比较综合评价值可以得到6个DMU的排列顺序。这个排序结果与文献[5]基本相似，说明本文的算法具有合理性，能够有效区分各个DMU。从计算的简便性上看，本文算法要优于文献[5]。

表3 6个DMU的一级指标得分

4 结束语

考虑到常用赋权方法的“均一化”加权可能降低评价的最优性和公正性，本文建立了一个基于DEA的指标体系赋权模型，将一个二层指标体系的赋权问题分成两部分解决，其中一级指标用传统的AHP方法赋权，二级指标用DEA方法实现了“非均一化”加权。模型的合理性在文中得以说明，并通过一个应用实例验证了算法的可行性。

为了论述方便，本文仅以二层结构的指标体系为例，涉及DEA之处也仅为单投入、多产出情形，但实际上模型可以推广到多层结构以及多投入多产出的情形，其计算简便的特点将能得到更充分的发挥。

当然，本文模型也有一定局限性。为了利用DEA框架讨论赋权，首先要界定DEA模型的投入和产出项，将二级指标视为产出项是自然的，投入项则需要一定假设，我们将之设为虚拟值1，主要是因为计算方便，这样一来完全不必考虑投入项的权重选择，但这也意味着每个决策单元都是以一单位投入进行生产，因此作为产出的二级指标必须是平均指标或相对指标，如人均GDP、工业总资产贡献率等，如果二级指标是“第一产业增加值”之类的总量指标，本文的赋权方法将不可用。然而，因实践中的大部分指标体系是由平均指标或相对指标构成的，如表1的新型工业化水平评价指标体系，故本文方法仍有广阔的应用空间。

[1]董雨，张筱希，王国华.方案比较中AHP方法的改进[J].统计与决策,2006,（2）.

[2]白先春，凌亢，郭存芝.城市可持续发展评价体系中指标群组赋权方法研究[J].运筹与管理,2009,（6）.

[3]Charnes A,Cooper W W,Rhodes E.Measuring the Efficiency of Decision Making Units[J].European Journal of Operational Research,1978，(2).

[4]盛昭瀚，朱乔，吴广谋.DEA理论、方法与应用[M].北京：科学出版社，1996.

[5]杨建仁，刘卫东.基于灰色关联分析和层次分析法的新型工业化水平综合评价——以中部六省为例[J].数学的实践与认识，2011,（2）.