周期边界条件下2×2 Sturm-Liouville算子特征值的秩

娄珍珍 ,李灵晓

(1.凯里学院数理系,贵州凯里 556000;2.河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳 471003)

0 前言

对于常型常微分算子的特征值问题的讨论,已经知道可以转化为一个整函数零点的讨论[1-5]。本文研究了2×2 Sturm-Liouville周期边界条件问题,阐明了特征值的秩与其相应函数零点重数是相一致的,该结论的给出对于特征展开定理和迹公式的计算有着重要的意义。

1 问题的提出

记

考虑下面周期边界条件下的特征值问题:

设φi=(φ1,φ2)T,(i=1,2,3,4)是4个满足式(1)中第1式的解,分别在x=0处满足

显然,Wronsky行列式W[ф1(x),ф2(x),ф3(x),ф4(x)]=1,4个解线性无关,可以构造一个基础解系。设

是特征函数,则y(x)一定满足式(1)中第2式的边界条件,即

此式可依次写成以下齐次线性组:

由方程组有非零解知,系数行列式为零。记

命题1 记

(i)λ0为问题(1)的特征值的充分必要条件是ω(λ0)=0。

(ii)R(λ0)+R(Ω(λ0))=4。

命题2 设Ψi(x,λ)(i=1,2,3,4)是4个满足方程(1)第1式的解,记为

记ai=(ai1,ai2,ai3,ai4)T,i=1,2,3,4,其中ai≠0,如果ω(λ0)=0,且ΩTai=0,则(i)Ψi(x,λ0)是问题(1)的特征函数,且满足

其中,i=1,2,3,4;j=1,2。

(ii)式(5)中极大线性无关组中的个数为R(A)。

由Lagrange恒等式及文献[6]可得:

引理1 设Ψi(x,λ0)是式(5)所给的特征函数(i=1,2,3,4),λ0是特征值,简记Ψi(x,λ0)为Ψi;记一元函数Ψ(π,λ)在λ=λ0处的取值为:

其中,i=1,2,3,4;j=1,2;k=1,2。记两矢量函数ψ,ф内积为 ＜ψ,ф＞,其定义为:

可得到16个恒等式,矩阵形式如下:

2 问题的解决

定理1 设λ0为问题(1)的特征值,其秩记为R(λ0),则R(λ0)=r(r=1,2,3,4)的充分必要条件是ω(i)(λ0)=0(i=0,1,…,r-1),且ω(r)(λ0)≠0。其中“(i)”代表ω(λ)=0关于λ的i次导数。

证明 由命题2的结论(2),以下按r=4证明定理的结论。

(i)R(A)=4,λ0对应4个特征函数Ψi(x,λ0),r=1,2,3,4。

(ii)R(A)=3,ω(λ0)=ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(3)(λ0)≠0。

R(A)=2,ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。 R(A)=1,ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。

类似(i)的步骤可证明以上结论,因篇幅有限,本文不再赘述。

[1] 吕胜关,闫照东.一个三点边值的Sturm-Liouville问题的迹公式[J].郑州大学学报:自然科学版,2001,33(2):1-5.

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[3] 杨潇,王永刚.一个带三点边条件的非线性特征值问题[J].信阳师范学院学报:自然科学版,2009,22(4):489-492.

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[5] 李祖平,李灵晓.一个带周期边界条件的非线性特征值问题[J].河南科技大学学报:自然科学版,2006,27(1):72-74.

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