“微元法”在物理教学中的运用

■武汉市罗华平名师工作室 赵永红

“微元法”在物理教学中的运用

■武汉市罗华平名师工作室 赵永红

新课程要求把学科思想方法渗透贯穿于整个教学过程，物理学有很多特有的思想方法，如理想模型法、控制变量法、微元法、类比法、等效法、对称法等，这些思想方法在新教材中都有充分的体现，其中“微元法”多次使用。所谓微元法，是指在处理物理问题时，将研究对象或物体的运动过程无限细分成微小的单元，每个单元称为一个微元，再从中选取一个微元进行研究，最终达到解决整体问题的方法。近年来，“微元法”在物理高考中的常常应用，既说明微元法的重要性，也体现了新课程理念的要求。

一、在教学中深入挖掘教材中的“微元法”素材

1．在物理概念教学中渗透微元法思想

高中《物理》（必修1）课本第16页对瞬时速度概念界定第一次运用了微元法的思想，文中写到“为了使描述精确些，可以把△t取得小一些，物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异就小一些，当△t非常非常小时，就可以认为△x/△t表示的是物体在时刻t的瞬时速度”，这里时间非常非常短,也可理解为位移非常非常小，其中渗透了时间微元或位移微元的思想。虽然高中《物理》（必修1）课本第26页提出瞬时加速度概念和高中《物理》（必修2）课本第56页做一做中提出瞬时功率概念时，课本没有再深入讨论，但教师如果能够将这些概念的建立与瞬时速度概念的建立进行类比，对时间进行微元，不仅能让学生加深对概念的理解，还能为学生再次领会微元法思想提供机会。

2．在物理规律教学中渗透微元法思想

（1）对物理量进行微分再积分求和

高中《物理》（必修1）课本38页第一次采用了先微分再求和的方法得出匀变速直线运动位移与时间关系的公式。借助v-t图像中面积代表位移的物理含义，将运动过程划分为很多很多的小段，很多很多小矩形面积之和就能非常准确的代表物体的位移了，求出梯形面积就得出从0到t这段时间间隔的位移，学生能体会到用“微元法”求变速运动位移的方法。类似的高中《物理》（必修2）课本第62页探究弹性势能表达式中，又对如何计算大小不断变化的弹力做功进行了论述，还提出了让学生结合F—△x图像计算弹力所做的功。通过对弹簧伸长量△x进行微元，计算出弹力所做的功，学生可以掌握“微元法”的求解变力做功的方法。高中《物理》（选修3-1）课本第32页用传感器观察电容器的放电过程，教材设计先微分再求和的方法计算电容器带的电量。教材给了一个电容器放电的I-t图像，教师引导学生采用微元法的思想，通过对时间进行微元，结合此处面积的含义，学生应该不难得出放电过程中释放的电荷量。

（2）对物理过程进行微分

高中《物理》（必修2）课本第59页重力势能做功研究中，文中指出:“先将整个路径分为很多的间隔，每一段都很小，可以近似地看做一段倾斜的直线，成功“化曲为直”，设每段小斜线的高度差分别是△h1，△h2，△h3…则对应重力所做的功分别为mg△h1，mg△h2，mg△h3…物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做功的代数和，即W=mg△h1+mg△h2+mg△h3+…=mgh1-mgh2。”高中《物理》（选修3-1）课本第16页静电力做功计算中，文中指出：“我们可以用无数组跟静电力垂直和平行的折线来逼近曲线ANB”，再次“化曲为直”，求出静电力所做的功。对运动轨迹的微分为我们理解“在力的方向上的位移”提供思路，这种方法更可迁移到“动生电动势”及“安培力”中有效长度L的理解中去。高中《物理》（必修2）课本第53页文中指出:“当力与位移垂直时不做功。”高中《物理》（选修3-1）课本第99页文中指出:“洛仑兹力不对带电粒子做功。”这两个结论同样是利用微分轨迹得出在每一小段过程中力与位移垂直不做功,然后得出整个过程不做功的结论。

二、在应用中深刻领会微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。“微元法”应用可分为两大类，即“将研究对象微元化”和“将过程微元化”。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，往往可以将曲线转化为直线，将曲面转化为平面，将变量转化为常量，将非理想模型转化为理想模型，使复杂的问题变得简单，常选取的微元有长度元△x、面积元△S、体积元△V、质量元△m、电荷元△q、时间元△t。这样，只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到解决。

（1）将物理运动过程微元化

例1.如图2所示，某个力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的总功为多少？?

分析：由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功不为零，且此力不为恒力。可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究。如图所示，取一足够小的弧长△s为微元，求出力F作用在此弧长过程中做的功，全过程“化曲为直”，等效于将本是曲线的圆周拉直。在这里，力F所做的功相当于力和物体运动路程的乘积。

（2）将物理研究对象微元化

例2.由高压水枪竖直向上喷出的水柱，将一个质量为m的小铁盒开口向下倒顶在空中。已知水（密度ρ已知）以恒定速率v0从横截面积为s的水枪中持续喷出，向上运动并冲击小铁盒后速度变为零。求稳定状态下小铁盒距水枪口的高度。

解析：由于水的连续流动性，与小铁盒作用的水在不断发生变化，但在稳定时，水与小铁盒的相互作用力F的大小是不变的，设水与铁盒作用前速率为v，对铁盒由力的平衡可得

F=mg…(1)

对水可选取△t时间内喷出的质量△m为研究对象，有

△m=ρsv△t…(2)

这部分水与铁盒作用前后动量变化大小为，

△p=△mv=ρSv2△t…(3)

小水柱的重力△mg忽略不计，据动量定理F=△p/△t=ρSv2…(4)

将“微元法”巧妙合理的引入物理解题中，在求变力做功的问题上、在求解瞬时速度和电磁感应综合应用等方面都有着很广的运用，虽然高中生对微元法的学习可能会感到困难，但只要教师利用好教材所提供的素材，在平常的教学中把学生的探究活动开展好，潜移默化、逐步引导，拓展学生的思维，一定会让学生体会到“微元”思想的奥妙，最终掌握“微元”思想方法。

责任编辑 王爱民