利用符号计算求解高阶非线性演化方程的新方法

史振华， 夏铁成

(上海大学理学院，上海200444)

众所周知，非线性科学是现代科学的核心，寻找非线性演化方程的精确解是数学物理研究领域的重要工作之一.到目前为止已出现许多方法，如反散射法［1］、Hirota双线性方法［2］、Backlund变换法［3］、齐次平衡法［4］、tanh函数法［5-6］、Exp函数法［7］、Jacobi椭圆函数展开法［8-9］、F扩展法［10-12］等.

本研究将运用推广的方法求解如下(2+1)维Bogoyavlenskii破裂孤子方程：

和(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程

对于一个给定的非线性演化方程，自变量X= (x，y，z，…，t)，因变量为u，即

接下来，按以下步骤来求解u：

步骤1 假设u(x，y，z，…，t)=u(ξ)行波变化，并将式(3)转变为常微分方程

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+c3z+…+dt，且满足方程

式中，am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ，μ为待定常数，正整数m可以通过齐次平衡法来确定;

步骤4 通过解方程组，求出常数am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ和μ.又由于方程(6)的解是已知的，故可以将am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ，μ和方程(6)的通解代入式(5)，就可以得到式(3)的行波解.

下面采用该方法求解2个著名的方程.

首先，求解如下(2+1)维Bogoyavlenskii破裂孤子方程：

其等价形式为

将式(7)和(8)进行行波变换，得

因此，可将式(7)和(8)转化为如下常微分方程：

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+dt满足方程

利用齐次平衡法，可以将u(ξ)和v(ξ)表示为

式中，c1，b0，b2，a0，λ和μ为任意常数.

利用式(17)，式(15)和(16)可以写为

将方程(14)的通解代入式(18)和(19)，可以得到方程(7)和方程(8)的3种形式的精确解.

当λ2-4μ＞0时，得到如下的双曲函数解：

当λ2-4μ＜0时，得到如下三角函数解：

当λ2-4μ=0时，可得如下有理解：

对(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程

同样可以进行行波变换，得

将方程(26)转换为

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+c3z+dt满足方程

利用齐次平衡法比较式(28)中的u″″和uu″，得到m=2.可以将u(ξ)表示为

式中，c1，c2，c3，a0，λ和μ为任意常数.

利用式(32)，式(31)可以表示为

将方程(30)的通解代入式(33)，可得方程(26)的3种形式的精确解.

当λ2-4μ＞0时，可得到如下双曲函数解：

当λ2-4μ＜0时，可得到如下三角函数解：

当λ2-4μ=0时，可得到如下有理解：

3 结束语

［1］ ABLOWITZ M J，CLARKSONP A.Soliton nonlinear evolution equations and inverse scattering［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［2］ HIROTAR.Exact solutions of the Korteweg-de-Vries equation for multiple collisions of solitons［J］.Phys Rev Lett，1971，27：1192-1194.

［3］ 陈登远.Backlund变换与n孤子解［J］.数学研究与评论，2005，25(3)：479-488.

［4］ 王明亮，李志斌，周宇斌.齐次平衡原则及其应用［J］.兰州大学学报：自然科学版，1999，35(3)：8-16.

［5］ FANE G.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations［J］.Phys Lett A，2000，277：212-218.

［6］ 李德生，张鸿庆.改进的tanh函数方法与广义变系数KdV和MKdV方程新的精确解［J］.物理学报，2003，52(7)：1569-1573.

［7］ HEJ H，WUX H.Exp-function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2006，30(3)：700-708.

［8］ LIUS K，FUZ T，LIUS D，et al.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］.Phys Lett A，2001，289：69-74.

［9］ FUZ T，LIUS K，LIUS D，et al.New Jacobi elliptic function expansion and new periodic solutions of nonlinear wave equations［J］.Phys Lett A，2001，290：72-76.

［10］ ZHOUY B，WANGM L，WANGY M.Periodic wave solutions to a coupled KdV equation with variable coefficients［J］.Phys Lett A，2003，308：31-36.

［11］ LIUJ B，YANGK Q.The extended F-expansion method and exact solutions of nonlinear PDEs［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22(1)：111-121.

［12］ WANGD S，ZHANGH Q.Further improved F-expansion method and new exact solutions ofKonopelchenko-Dubrovsky equation［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，25：601-610.