史振华, 夏铁成
(上海大学理学院,上海200444)
众所周知,非线性科学是现代科学的核心,寻找非线性演化方程的精确解是数学物理研究领域的重要工作之一.到目前为止已出现许多方法,如反散射法[1]、Hirota双线性方法[2]、Backlund变换法[3]、齐次平衡法[4]、tanh函数法[5-6]、Exp函数法[7]、Jacobi椭圆函数展开法[8-9]、F扩展法[10-12]等.
本研究将运用推广的方法求解如下(2+1)维Bogoyavlenskii破裂孤子方程:
和(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程
对于一个给定的非线性演化方程,自变量X= (x,y,z,…,t),因变量为u,即
接下来,按以下步骤来求解u:
步骤1 假设u(x,y,z,…,t)=u(ξ)行波变化,并将式(3)转变为常微分方程
式中,G=G(ξ),ξ=c1x+c2y+c3z+…+dt,且满足方程
式中,am,…,a0,c1,c2,c3,…,d,λ,μ为待定常数,正整数m可以通过齐次平衡法来确定;
步骤4 通过解方程组,求出常数am,…,a0,c1,c2,c3,…,d,λ和μ.又由于方程(6)的解是已知的,故可以将am,…,a0,c1,c2,c3,…,d,λ,μ和方程(6)的通解代入式(5),就可以得到式(3)的行波解.
下面采用该方法求解2个著名的方程.
首先,求解如下(2+1)维Bogoyavlenskii破裂孤子方程:
其等价形式为
将式(7)和(8)进行行波变换,得
因此,可将式(7)和(8)转化为如下常微分方程:
式中,G=G(ξ),ξ=c1x+c2y+dt满足方程
利用齐次平衡法,可以将u(ξ)和v(ξ)表示为
式中,c1,b0,b2,a0,λ和μ为任意常数.
利用式(17),式(15)和(16)可以写为
将方程(14)的通解代入式(18)和(19),可以得到方程(7)和方程(8)的3种形式的精确解.
当λ2-4μ>0时,得到如下的双曲函数解:
当λ2-4μ<0时,得到如下三角函数解:
当λ2-4μ=0时,可得如下有理解:
对(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程
同样可以进行行波变换,得
将方程(26)转换为
式中,G=G(ξ),ξ=c1x+c2y+c3z+dt满足方程
利用齐次平衡法比较式(28)中的u″″和uu″,得到m=2.可以将u(ξ)表示为
式中,c1,c2,c3,a0,λ和μ为任意常数.
利用式(32),式(31)可以表示为
将方程(30)的通解代入式(33),可得方程(26)的3种形式的精确解.
当λ2-4μ>0时,可得到如下双曲函数解:
当λ2-4μ<0时,可得到如下三角函数解:
当λ2-4μ=0时,可得到如下有理解:
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