Sine-Gordon方程的极限对称及应用

沈 青， 赵松林， 张大军

(上海大学理学院，上海200444)

本研究将讨论sine-Gordon方程的一个新对称.该对称可以由已知的平方本征函数对称通过一个极限过程得到，而且由相应的对称约束得到的新解是一个二重极点解［7-9］，可以看作是方程的极限解.另外，平方本征函数与孤立子方程的自相容源之间有着紧密关系［10-11］.新的极限对称引出一个带新自相容源的sine-Gordon方程，本研究将利用双线性方法求解这个带源的方程.

1 Sine-Gordon方程的一个极限对称

Sine-Gordon方程为该方程最早来自于负常曲率曲面，可用于描述Josephson传输线中的磁通量子［12-13］、共振介质中的超短脉冲传播［14］等，具有丰富的物理与几何背景.Sine-Gordon方程是可积的，其Lax对为

式中，λ为谱参数.可以验证，当φ1和φ2满足式(2)和(3)时，有

式(4)为sine-Gordon方程的一个对称，即满足σxt= σcos u.利用对称所满足的线性方程的线性性质，由式(4)以及方程的另一个对称ux，可以得到方程的一个对称约束为

式中，φij为Lax对当λ=λj时的解.由式(5)可以引出sine-Gordon方程的N-孤子解［15-16］.

引入

式中，φ1j和φ2j，ψ1j和ψ2j满足如下关系：

2 相似约化

2.1 相似约化与精确解

考虑式(1)的对称的组合

式中，φ1j，φ2j满足式(7)和(8)，ψ1j，ψ2j满足式(9)和(10).令σ^=0，有

这是一个新对称约束.整个系统由式(1)，(7)～(10)，(13)组成，其中j=1，2，…，N.直接代入验证发现，当φkj，ψkj(k=1，2)满足式(7)～(10)时，由式(13)定义的u自动满足sine-Gordon方程.所以，此约束系统可以简化为

引入如下变换：

式中，i为虚数单位，“-”表示复共轭.将式(14)两边对x微分，利用式(20)和(21)，可以将式(14)～(19)写成如下双线性形式：

为了方便，在式(22)～(26)中已将λj记为-kj，算子 D即为所熟悉的 Hirota双线性算子［17］，定义为

为了精确地求解式(22)～(26)，将f，gj，hj分别按ε级数展开，有

将式(27)代入式(22)～(26).当N=1时，经过计算发现，式(22)～(26)的解可以由截断的级数展开式(27)给出，其中

式中，k1，eξ(0)1都为实参数，且

在式(27)中，取ε=1，由式(20)和(21)，可求得sine-Gordon方程的解为

或表示为

2.2 动力学分析

为了更好地分析式(34)的动力学特征，先来看sine-Gordon方程的2-孤子解，它可以写为［18-20］

众所周知，sine-Gordon方程的单孤子解具有kink和反-kink两种类型，因此，2-孤子的相互作用也自然较KdV方程更丰富.

式中，

图1 Sine-Gordon方程的解(37)的图像Fig.1 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(37)

在式(37)中，令k2→k1，并利用L’Hospital法则，可得

极限解(34)的图像如图2所示，其中k1=1，=0.

图2 Sine-Gordon方程的解(34)的图像Fig.2 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(34)

显然，图2(a)中的波形是对称的，这正是2-孤子解(37)中k2→k1的体现.为了更好地研究解(33)的渐进性，将其放入如下移动坐标系内(见图2(b))：

通过渐进分析发现，图2(b)中4个拐点的轨迹可以用下述4条曲线来描述.

定理1 设式(34)中，k1＞0，则当t→-∞时，有2条移动的拐点轨迹，分别为

在拐点处，u的斜率分别为4k1和-4k1，u的值为u|XBR=u|XBL=-π.当t→ +∞时，有2条移动的拐点轨迹，分别为

在拐点处u的斜率分别为4k1和-4k1，u的值为u|XTL=u|XTR=π.

3 带新自相容源的sine-Gordon方程

在文献［21］中，带自相容源的sine-Gordon方程定义为

类似地，引入如下带极限源的sine-Gordon方程：

式中，{λj}互不相同，j=1，2，…，N.式(42)～ (44)为Lax可积系，Lax对为

式中，

由式(45)的相容性条件，可导出式(42)，其中需利用如下关系：

式(42)～(44)能够被精确求解.采用变换式(20)～(21)，则式(42)～(44)转化为如下双线性形式(λj=-kj)：

类似第2节中的求解过程，如式(27)，将f，gj，hj展开，并代人到式(48)～(50)中.当N=1时，可得

式中，

式中，k1，eξ(0)1为实参数，β1(z)为z的任意连续函数.在式(27)中，若取ε=1，可得式(42)～(44)的一个解为

或写为

解(56)的图像如图3所示，其中k1=1，2，=0，β1(z)=3z2.

图3 带极限源的sine-Gordon方程的解(56)的图像Fig.3 Plots for the solution of sine-Gordon equation with new self-consistent sources given by(56)

4 结束语

本研究给出了与本征函数有关的sine-Gordon方程的新对称，这个对称与原有的平方本征函数对称之间存在极限关系，因此，称之为极限对称.由该对称引出的相似约化，可以得到sine-Gordon方程2-孤子解的极限解.本研究讨论了这个解与 sine-Gordon方程2-孤子解之间的极限关系，并分析了解的动力学特征.此外，本研究还利用极限对称给出了一个新的带源的sine-Gordon方程，该方程是Lax可积的，可以被双线性化，并且得到的解具有极限解的特征.本研究所讨论的极限对称与相应的方法可同样应用于其他可积方程.

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