浅论Riemann积分和Lebesque积分

郝江锋

（1安徽大学数学科学学院，安徽合肥230039）

（2巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）

浅论Riemann积分和Lebesque积分

郝江锋1，2

（1安徽大学数学科学学院，安徽合肥230039）

（2巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）

本文以Riemann积分理论的狭隘性展开，介绍了Lebesque积分和Riemann积分的区别与联系。在介绍中尽量结合积分论思想的发展历史，而不是只对二者一些关系作一个定理式的罗列，这是本文的主要特色。结合实例来立论是本文另一个特点，本文最后部分作者列举出了许多精彩的实例，它们是二者关系的最好说明。

Cauchy；Riemann积分；Lebesque积分；可测函数；Fourier函数

一般微积分教材谈论的是Riemann积分，而一些进阶课程如概率论和实变函数中，又会涉及到Lebesque积分。本文将结合积分学发展历史，介绍Riemann积分与Lebesque积分的比较，以及Lebesque积分对Riemann积分的改进。

1 Riemann与Lebesque积分思想简介

1.1 Riemann的积分思想[1，2，3，4]

微积分创始人之一Newton的著作表明面积可以通过把微分法反过来求得，另一创始人Leibniz的想法是把面积或体积看作是诸如矩形或柱体微元的“和”。在18世纪，当微元“和”的概念多多少少被采纳时，使用这些感念也是很不严谨的。A.Cauchy（1789-1857）在他的《概论》（1823）中对定积分作了最系统的开创性工作，在书中他指出在人们能够使用定积分、原函数之前，必须确定定积分的存在，以及间接地确定反函数或原函数的存在。在数学史上，第一个提出用分割区间作和式的极限来明确的定义积分的要推Cauchy了。他考察的积分对象是在[a，b]上的连续函数，并用连续函数的中值性质来推导积分的存在性。然而Cauchy所作的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形。Riemann从J.Fourier（1768-1830）关于三角函数的工作中得到启发，他不先假设函数是连续的，而去探求一个函数可积与否是什么性态。

Riemann把积分推广到在区间[a，b]有定义且有界的函数f（x）上去，他把[a，b]分割成子区间△x1，△x2，…，△xn，，并把f（x）在△xi上的最大值和最小值之差定义为f（x）在△xi上的振幅。然后他证明了，当最大的△xi趋于零时，和式（ 其中ξi是△xi中x的任一值）趋于一个唯一的极限（和式存在）的一个充分必要条件是：区间△xi（在其中f（x）的振幅大于给定的数λ）的总长度必须随着各区间长度趋于零而趋于零。Riemann指出，关于振幅的这一条件使他可以用具有孤立间断点的函数及具有处处稠密的间断点的函数来代替连续函数。事实上，Riemann所给出的在每个任意小区间上有无穷多个间断点的可积函数的例子，说明了他的积分概念的一般性。这样，Riemann就在积分的定义中去掉了连续和分段连续的要求。

Riemann积分的重要性是不言而喻，它对于处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的，并且至今仍然是积分课程的主要内容之一。然而，随着点集理论工作的深入，人们越来越多地接触到具有各种“奇特”现象的函数，对此，在研究函数的可积性的积分理论的处理上，Riemann积分发生了困难。

Riemann积分的狭隘性涉及到：（1）可积函数的连续性限制：Riemann积分要求可积函数必须是“差不多连续”的。Riemann积分的理论是以“基本上”连续的函数为研究对象的，忽略了许多人们关心的函数。（2）极限与积分次序交换的问题：在一般的数学分析教科中，都是用函数列的一致性敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换，不过，这一要求过分强了。（3）微积分基本定理成立受限制：Riemann积分中，微积分基本定理要求函数f（x）在[a，b]可积。然而，早在1881年，Volterra就作出了一个可微函数，其导数是有界的，但导数不是Riemann可积的。这就大大限制了微积分基本定理的应用范围。（4）Riemann可积函数空间不具完备性。

1.2 Lebesgue的积分思想[1，3，4，5]

鉴于以上各种缺陷以及随着人们对微积分各种课题的深入讨论，积分理论的研究工作也进一步展开，并认识到积分问题与函数的下方图形——点集的面积界定和度量有关。随后各种测度概念相继提出。Lebesgue在他的论文《积分、长度和面积》里，第一次叙述了他关于测度和积分的思想。Lebesgue积分理论不仅蕴涵了Riemann积分所达到的结果，而且在较大程度上克服了它的局限性。

Lebesgue的积分论是建立在他关于点集的测度的概念之上的。设E是a≤x≤b的一个点集。E的点可以被[a，b]中一族有限个或可数无限个区间集d1，d2，…所包围而成为内点。能够证明区间集合di{}，可以被互不重叠的区间集合δ1，δ2，…所代替，使得E的每一个点是其中某一个区间的内点或是两个相邻区间的公共端点。令Σδn表示长度δi之和，所有可能集合δi{}的Σδn（最大）下界称为E的外测度，记作me（E）。E的内测度mi（E）定义为集合C（E）的外测度的补测度[b-a]-meC（E），这里集合meC（E）是E在[a，b]中的补集，也就是a≤x≤b中不在E内的点所成的集合。如果meE=miE，那么集合E就定义为可测的，而测度m（E）就是这个公共值。Lebesgue证明，可数个两两不相交的可测集的并集的测度，等于这些集合的侧度的总和。

Lebesgue的另一个重要概念是可测函数。设E是x轴上的一个有界可测集，在E的一切点上定义的函数f（x）称为在E上是可测的，如果对任意常数A，E中使得f（x）＞A的点所成的集合是可测的。

2 Riemann积分与Lebesque积分的比较

由前所述知，Lebesgue积分是以测度论为工具，借鉴Riemann积分的思想用出的，它的许多性质都与Riemann积分相似。如二者都具有有限可加性，线性，单调性等（见文献[5]）。下面将着重介绍Lebesgue积分较Riemann积分的改进之处[1，5]。

2.1 Lebesque积分较Riemann积分具有更大的普遍性

这可以从下关于Lebesgue积分理论如何克服Riemann积分的狭隘性上看出。例如：在区间[a，b]上的Dirichlet函数，在有理数x处取值为1，在无理数x处取值为0，处处不连续，从而不Riemann（原义和广义）可积，但却是Lebesgue可积的，这时而且进一步地，Lebesgue积分概念可以推广到更普遍的函数，例如无界函数。如果f（x）在积分区间上Lebesgue可积，但不Riemann可积，反之亦然。这部分的反例在后面将一并例出。

就实用目的而言，Riemann积分已经够用了。Lebesgue积分证明了，为使一个有界函数是Riemann可积的，必须且仅须它的不连续点集是一个零测度。这就是Lebesgue对Riemann可积条件推广的一大贡献。但对理论工作来说，Lebesgue积分提供了简化的便利。

2.2 Lebesgue 积分给某些定理的成立条件带来了简化

Lebesgue在他的论文里有这样一个结果：设u1（x），u2（x），…是可测集合E上的可测函数，并Σun收敛到f（x），那么f（x）是可测的。又若是是一致有界的（对可测集E中的一切x和一切则有所谓的控制收敛定理：f（x）在E上的Lebesgue可积，且有如果我们研究的是Riemann积分，则还要加上这个级数的和是可测的这一假设。这使Lebesgue积分在极限与积分交换次序问题上较Riemann积分有了突破。

Lebesgue积分在Fourier级数理论中特别有用。这方面的许多重要的贡献也是Lebesgue本人作出的。Riemann指出，一个有界的Riemann可积的函数的Fourier系数an，bn当n趋向于无穷时，必趋向于0。Lebesgue的推广说：

其中f（x）是一个Lebesgue可积的函数，不管它是否有界。这个定理被称为Riemann—Lebesgue引理。Lebesgue还证明了一个Fourier级数之所以可以逐项积分，并不依赖于这级数对f（x）本身的一致收敛性，对任意一个Lebesgue可积函数f（x），不管f（x）的原始级数是否收敛于它，都有：

其中x是[-π，π]内的任一点。而且这新级数在区间[-π，π]上总有一致收敛到这等式的左边。由上可见，Lebesgue积分理论，较好的克服了Riemann积分的第二个狭隘性。

2.3 Lebesgue积分理论也推进了多重积分的理论

在Riemann积分理论中，如果f（x，y）在I=[a，b]×[c，d]上连续，那么下列等式成立：

它要求函数f（x，y）连续，似乎太苛刻了。在Lebesgue二重积分的定义下，能用累次积分来计算二重积分的函数的范围扩大了。Fubini对Lebesgue的初始创造性工作作了推广后提出了如下的被称为Fubini定理的结论[6]：

如果f（x，y）在可测集G上可测，则，

（a）对几乎所有的y和x，f（x，y）分别作为x，y的函数都是可测的；

（b）使得f（x，y0）或f（x0，y）不可测的点（x0，y0）的集合的测度为0；

其中外层的积分是在x的函数（或y的函数）f（x，y）是可测的那些y（或x）的点集上取的。可见，只要重积分有限，它就和两个累次积分相等，这个条件相比于Riemann积分少了不少的限制，这就是Lebesgue积分成功之处之一。

2.4 “完备性”上的贡献

由前面的讨论已经发现：连续（或几乎处处连续）函数及其相应的Riemann积分理论的地位和作用，在一定意义上已被可测函数及其Lebesgue积分理论所代替。新的积分理论不仅扩大了积分的对象，而且新的可积函数类的全体还呈现出与欧氏空间有及其类似的结构和性质，从而为在其上建立分析学奠定了基础。Lebesgue积分理论建立后，Lp（1≤p＜∞）空间的重要性立即被人们所认识，它的完备性是这一理论早期成功的典范。这一“完美”的性质是Riemann可积函数类所没有的，可以认为这又是Lebesgue积分理论的一个成功之处。

3 Lebesgue积分与Riemann积分的例证比较[5，7，8]

本节给出一些著名例子，用来加深对Lebesgue积分和Riemann积分的区别和联系的理解，它们是以上陈述的补充。

3.1 有限闭区间上Lebesgue可积未必能推出Riemann可积，但有限闭区间上Riemann可积必能推出Lebesgue可积

例1[0，1]上的Dirichlet函数

是非负简单函数，当然Lebesgue可积。但D（x）在[0，1]上处处不连续，故Riemann不可积。

3.2 Lebesgue积分是Riemann积分的推广，却非广义Riemann积分的推广；Lebesgue积分指的是绝对收敛的积分

（1）广义Riemann可积而不Lebesgue可积的函数

小学语文教学不应该只局限于课本上几篇简单的文章和诗歌，老师应该多鼓励学生们进行课外的阅读来辅助语文学习，只要是文字优美的符合小学生认知规律和能力都可以鼓励学生进行广泛阅读，通过课外阅读他们也可以体会到文字的魅力也可以有效地提升学生们的语感，间接性的提高学生们的口语表达能力，同时也能为以后学生的写作打下坚实的阅读和写作基础。

（2）Lebesgue可积而不广义Riemann可积的非负函数

（3）可用广义Riemann积分来求Lebesgue积分

解：因为x-a＞0（x∈E），且（R）

3.3 从某些极限过程来看，Lebesgue积分较Riemann积分优越性，对积分列求极限问题，Lebesgue并没有要求函数序列一致收敛

例5设fn（x）=xn（0≤x≤1）它是点收敛而不是一致收敛于的，但仍有

3.4 有限闭区间上Riemann可积函数空间的不完备性

例6证：R[0，1]为[0，1]上Riemann可积函数的全体，引入距离

其中认定当d（f，g）＝0时，f和g是同一元。我们说R[0，1]不是完备的意思是指当fn∈R[0，1]（n=1， 2，…）且满足时，并不一定存在fn∈R[0，1]，使得

现在，令{rn}是（0，1）中有理数的全体，设In是[0，1]中的开区间并作函数

则fn∈R（[0，1]）（n=1，2…），且有＝0，以及fn（x）→f（x）（n→∞）。故R（[0，1]）按上述距离d是不完备的。

[1]周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社，2001.

[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第四册）[M].上海:上海科技大学出版社，2002.

[3]张奠宙.20世纪数学经纬[M].上海：华东师范大学出版社，2002.

[4]往树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003.

[5]黄仿伦.实变函数[M].合肥：安徽大学出版社，2001.

[6]徐森林.实变函数论[M].合肥：中国科技大学出版社，2002.

[7]程庆，汪远征.实变函数中的反例[M].开封：河南大学出版社，1989.

[8]汪林.实分析中的反例[M].北京：高等教育出版社，1989.

Abstract:The relationship of the Lebesque integral and Riemann integral is presented.This paper is expanded from how Lebesgue theory overcomes the shortcoming of the Riemann’s theory.Instead of accumulating related theorems,we try to combine with the history of the integral theory when describing the arguments.In the end of the paper,some wonderful examples are listed,which are the best expound of the relationship between the Lebesque integral and Riemann integral.

Key words:Cauchy；Lebesque integral；Riemann integral；measurable function；Fourier series

责任编辑：宏彬

SHALLOWLY DISCUSSION ON THE LEBESQUE INTEGRAL AND RIEMANN INTEGRAL

HAO Jiang-Feng1,2
（1School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei Anhui 230039）
（2Department of Mathemalics，Chaohu University，Chaohu Anhui 238000）

O177.8

A

1672－2868（2010）03－0011－05

2010－03-20

郝江锋（1981－），安徽潜山人。安徽大学数学科学学院在读硕士，研究方向：函数论，运筹学。