多元函数型积分因子的待定指数方法

曹怀火，刘利斌，张 永

（池州学院数学计算机科学系，安徽池州 247000）

多元函数型积分因子的待定指数方法

曹怀火，刘利斌，张 永

（池州学院数学计算机科学系，安徽池州 247000）

本文利用一阶微分方程积分因子的有关性质定理，给出多元函数型积分因子的一个求解方法，即指数待定法。精选有代表意义的例题，并给出完整的解题过程，以示该方法具有一定的普适性。

常微分方程；积分因子；待定指数法

1引言

若方程

的左端恰是某一函数的全微分，即

则称方程(1)为全微分方程，这时它的通积分为，其中为任意常数。

若方程(1)不是全微分方程，但存在连续可微函数，使得

成为全微分方程，即存在函数，使

则称为方程(1)的一个多元函数型积分因子。显然，如果能找到一个积分因子，则方程(1)的积分问题立即得到解决。

我们知道，积分因子一般是不易求得的。因为，通常情况下求的问题转化为解下面的偏微分方程

然而，对于“这个方程的积分问题一般说来并不比解方程(1)的问题容易”[1]。

在一般文献中，求解方程(1)的积分因子，只是在特定情况下求出一些特定形式的积分因子，如μ（x),μ(y），型才有法可循。通常所谓的“观察法”和“分组法”，或对于较复杂的方程，有时先重新组合方程的各项，然后再用“观察法”得之[2]，但这些方法在实际应用中感到很困难，实有继续探究的必要性。

本文，我们首先给出常微分方程初等解法中一阶微分方程的积分因子的有关性质定理，然后综合利用这些性质，建立求解二元函数型积分因子的待定指数方法，在某种程度上这可看作是对现有文献中有关求方程(1)的积分因子方法的一个补充。

2 主要定理与方法

为建立求解二元函数型积分因子μ（x,y）的待定指数方法，下述性质引理[3-4]起重要作用。

引理2.1设是方程(1)的积分因子，且通积分为，则对任何可微函数，函数也是方程(1)的积分因子。

事实上，由于

故，μφ(u)是方程(1)的积分因子。

定理2.1如果方程(1)的左端可分成两组，即

两组的积分因子分别为 μ1，μ2(μ1≠μ2)对应的通积分分别为 μ1，μ2，且 μ1μ1α=μ2μ2β，则 μ（x, y）=μ1μ1α=μ2μ2β是方程(1)的积分因子，其中α,β 为待定指数。

证明：因为μ1，μ2，μ1，μ2分别是(4)第一、二组的积分因子及通积分，即

由引理易知，μ1μ1α，μ2μ2β也分别是方程(4)的第一、二组的积分因子，即

又因为μ1μ1α=μ2μ2β，所以

故μ（x,y）=μ1μ1α=μ2μ2β，是方程(1)的积分因子。

注：定理表明，通过待定指数后只须解出或中的任何一个，便可得到方程(1)的二元函数型积分因子

3 方法应用举例

例1.贝努力(B e r n o u l l i)方程(y＇＝p(x)y+q(x)y(n)) (n≠0，1).

解：先将方程改写为

对第一组，易知

对第二组，易见

为了找到原方程的一个积分因子，根据定理2.1，可令

(这里α,β为待定的指数)，

易得α=-n，从而

例2.求解方程y3dx+2(x2-xy2)dy=0.

解：原方程可改写为

根据μ（x）或μ（y）型积分因子存在的充要条件，易知对第一组

或

对第二组

推论：设方程(1)的左端须分成两组以上的情形，如(M1dx+N1dy)+(M1dx+N2dy)+…+(Mndx+Nndy)=0，

每组的积分因子及其通积分分别为μ1，μ1、μ2，μ2…、μn，μn，通过待定指数

解出k1，k2，…kn，中任何一个ki，(1≤i≤n)，则方程(1)的积分因子μ1(x,y)=μiμiki.

[1]B.B.史捷班诺夫.微分方程教程[M].卜元震,译.北京：高等教育出版社，1956.

[2]王柔怀，任卓群.常微分方程讲义[M].北京：人民教育出版社,1979.

[3]汤光宋.常微分方程中积分因子的若干性质 [J].曲靖师范学院院学报，1983(1)：84-89.

[4]王善维.关于一阶微分方程的积分因子问题 [J].河北轻化工学院学报,1997，42(18):6-9.

[责任编辑：陈晓华]

Abstract:With property theorems of first order differential equations integrating factor,the paper explores the method to solve multivariate function type integrating factor,namely,undetermined exponent method.And typical examples and their solving procedures are presented to illustrate the generality of this method.

Key Words:Ordinary Differential Equations;Integrating Factor;Undetermined Exponent Method

Undetermined Exponent Method to Solve Multivariate Function Type Integrating Factor

Cao Huaihuo,Liu Libing,Zhang Yong
(Department of Math and Computer Science,Chizhou College,Chizhou,Anhui 247000)

0175

A

1674-1102（2010）03-0001-02

2010-04-26

池州学院2009年度教学质量与改革工程项目；池州学院教研项目（2010JY019）。

曹怀火（1975-），男，安徽东至人，池州学院数学计算机科学系讲师，硕士，研究方向为微分方程与数学生态学。