极大子群的θ－偶

张新建

(1.淮阴师范学院数学科学学院，江苏 淮安223300;2.苏州大学数学科学学院，江苏苏州215006)

0 引言

群的概念在数学的许多分支中都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法进行建模，因此，群论在物理学和化学中有大量的应用。在文献［1］中，作者介绍了极大子群的θ－偶的定义，并利用极大子群的θ－偶来研究群的结构，此后，很多学者对此概念进行了研究，本文进一步进行了探讨，得到有限群是可解和超可解的一些新的描述。

本文只涉及有限群，H◁G表示H是群G的正规子群，π(G)表示|G|的素因子的集合，为了叙述方便，我们定义集合:X(G)={M＜G||G:M|非素数方幂}。下面我们将给出本文主要结论所需要的定义和引理。

1 定义和引理

定义1 设M是有限群G的极大子群，则G的子群对(C，D)称为M的θ－偶，如果(C，D)满足以下三个条件:

(1)D◁G，D ＜ C;

(2)〈M，C〉 =G，〈M，D〉 =M;

(3)C/D不包含G/D的真正规子群。

此外，如果C◁G，则(C，D)称为正规θ－偶。θ－偶(C，D)称为极大的，如果不存在θ－偶(C＇，D＇)使得 C ＜ C＇。

引理1 设M为群G的极大子群，(C，D)是M的一个极大θ－偶。令C＇=CMG， 是一个群类(其中的元对于子群和同态像是闭的)。则下列结论成立:

(1)存在M的极大θ－偶(K，MG)使得K≤C＇。

(2)如果C/D∈ 则K/MG∈ 。

引理2 设M为群G的极大子群，(C，MG)是M的一个极大θ－偶。则对于G的任意包含在M中的正规子群N，都有(C/N，MG/N)是M/N的一个极大θ－偶。

引理3 假设群G为非可解群，M为G的极大子群且MG=1，G有唯一极小正规子群N，N是非可解的。如果(C，MG)=(C，1)是M的一个极大θ－偶且C是超可解的，则C是G的极大子群。

引理4 设H为群G的幂零Hall子群但不是Sylow子群。假若对于|G|的任一素因子p，H的Sylow p－子群P满足NG(P)=H，那么存在K◁G使得G=KH且KH=1。

引理5 有限群G可解，当且仅当G有一个可解极大子群M在G中是c－正规的。

引理6 设H为群G的极大子群。若H幂零，且H的Sylow 2－子群的幂零类≤2，则G可解。

引理7 假设群G为非可解群，M为G的极大子群且MG=1，G有唯一极小正规子群N，N是非可解的。如果(C，MG)=(C，1)是M的一个极大θ－偶且C是幂零的，则C是G的极大子群且C是G的Sylow 2－子群。

证明 首先由假设及引理3可知，C是G的极大子群。显然由非可解且N是G的唯一极小正规子群可知CG=1。如果有素数p能使1＜Cp＜Gp，这里Cp与Gp分别是C与G的Sylow子群。由幂零群性质得

C＜NG(Cp)≤G。

由C的极大性知Cp◁G，这与CG=1矛盾，所以C是G的Hall子群。如果C不是G的Sylow子群，则对一切素数p均有C＜NG(Cp)≤G。又因为CG=1，所以对一切|C|的素因子p总有NG(Cp)=C，由引理4可知，存在K◁G使得

G=KC且K∩C=1。

于是由假设可得C是G的幂零c－正规极大子群，由引理5可知G是可解的，与假设矛盾。所以C是G的Sylow p－子群，而p是某个素数。如果p是奇素数，则由引理6可得G是可解的，又与假设矛盾。所以p=2，即C是G的Sylow 2－子群。结论得证。

引理8 设P为p－群，p是奇素数，H为指数pn的子群，而X为H的正规补且为初等交换的。如果P含有元素y使得P=〈y〉H，则n=1。

2 主要结果

我们知道如果群G超可解，则G的每个极大子群在G中的指数是素数，如果群G可解，则G的每个极大子群在G中的指数是素数方幂。在文献［1］和文献［6］中作者用指数为合数的极大子群的θ－偶的性质研究了群G的可解性。在此，我们将用更小范围的极大子群的θ－偶来判断群G的可解性，有如下结论:

定理1 设G群是PSL(2，7)－无关，则下列结果等价:

(1)G可解;

(2)对每个X(G)中元M，存在一个极大θ－偶(C，D)使得C/D幂零且G=CM;

(3)对每个X(G)中元M，存在一个极大θ－偶(C，D)使得C/D幂零且其Sylow 2－子群的幂零类至多为2。

证明 假设对每个X(G)中元M，存在一个极大θ－偶(C，D)使得C/D幂零且G=CM。我们需证明G是可解的。

假设结论不成立且G是满足条件的极小阶反例。首先由假设G是PSL(2，7)－无关，可知X≠Ø。令N是G的一个极小正规子群，考虑商群G/N。假设M/N是X(G/N)中的任一元，则|G:M|=|G/N:M/N|非素数方幂，从而M∈X(G)，于是由假设存在一个极大θ－偶(C，D)使得C/D幂零且G=CM，从而由引理1和引理2可知G/N满足假设条件，由归纳可得G/N可解。因为可解群系是饱和群系，所以N是G的唯一极小正规子群，且N非可解。

令M是X(G)中的任意元，如果MG≠1，则由N的唯一性可得N≤MG，从而M/N是G/N的极大子群，由G/N可解可得|G:M|=|G/N:M/N|是素数方幂，矛盾。所以MG=1。由假设M有一个极大θ－偶(C，D)=(C，1)使得C幂零且G=CM。现在由引理7，我们得到C是G的极大子群且C是G的Sylow2－子群。如果|G:C|是素数方幂，则|π(G)|≤2，于是G可解，矛盾。所以|G:C|非素数方幂，从而C∈X(G)，显然N⊄C，所以CG=1。于是由假设 C 有一个极大 θ－ 偶(C＇，D＇)=(C，1)使得C＇幂零且G=CC＇。又由引理7，我们得到C＇是G的Sylow 2－子群，因此由G=CC＇得G是2－群，矛盾。

现在假设对每个X(G)中元M，存在一个极大θ－偶(C，D)使得C/D幂零且其Sylow 2－子群的幂零类至多为2，我们需证明G是可解的。假设结论不成立且G是满足条件的极小阶反例，令M是X(G)中的任意元，(C，D)是M的一个极大θ－偶使得C/D幂零且其Sylow 2－子群的幂零类至多为2。类似于上一个结论的证明，可得D=1，C是G的极大子群且C是G的Sylow 2－子群。因为C的幂零类至多为2，由引理6可得G是可解的，矛盾，所以反例不存在，结论得证。

定理的其余结论显然成立。证毕。

［注］定理假设中G是PSL(2，7)－无关的不可以去掉，例如，令G=PSL(2，7)，则G的任一极大子群在G中都有素数幂指数，即X(G)=Ø，所以G显然满足引理2和引理3的假设，但G是非可解的。

定理2 假设M是群G的不包含F(G)的超可解极大子群，其中F(G)是G的Fitting子群。如果M有一个极大θ－偶(C，D)使得C/D循环且G=CM，此外，如果|G:M|是2的方幂，还假设C/D是素数阶的，则G超可解。

证明 假设结论不成立且G是满足条件的非超可解的极小阶反例。则

(1)MG=1，G有唯一极小正规子群，设为N，且G/N超可解。

由假设M是群G的不包含F(G)的超可解极大子群，这意味着G有极小正规子群不包含在M中，设为N。则G=NM且G/N≅M/M∩N超可解。如果MG≠1，令R是包含在M中的G的一个极小正规子群。显然G/R满足假设的条件，由归纳G/R超可解，又因为G/N超可解并且超可解群系是饱和群系，所以G超可解，矛盾。因此，MG=1。如果G还有另外一个极小正规子群N1，使得N1≠N，则由G=N1M可得G/N1超可解，同样可得到G超可解，矛盾。因此N是G的唯一极小正规子群。

(2)令E是G的子群，使得C是E的极大子群。则E=NC且E是可解的，从而G可解且N=F(G)=CG(N)。

由(1)的证明，定理2的证明MG=1可得D=1。由假设，(C，D)=(C，1)是M的一个极大θ－偶且C是循环的，于是由引理6可得是E可解的。因为C＜E，所以N≤C。如果，则N循环，于是G超可解，矛盾。所以N⊄C且E=NC。剩余部分的结论由第一部分的证明可知是显然的。

(3)假设N是初等交换p－群，对于某个p∈π(G)，则C是循环p－群。

由G=MC=MN且M∩N=1，我们得到C是p＇－非群。令P是C的一个Sylow p－子群。因为N⊄C，所以P＜NP，从而P＜NNP(P)，于是C＜NE(P)。注意到C是E的极大子群，所以NE(P)=E，从而P◁E且CE(p)◁E。现在由假设可得C是循环的，于是C≤CE(P)，这意味着CE(P)=C或者CE(P)=E。如果是后一种情形，则P包含在E的中心里，于是P≤CG(N)=N。另一方面G=MC=NM且M∩N=1又使得|N|≤|P|，所以N=P，矛盾于 N⊄ C。因此 CE(P)=C，即C◁E。令U是C的Hall p＇－子群，则U◁E=CN，从而［U，N］⊆U∩N=1，于是U≤CG(N)=N，这意味着U=1，即C是p－群。

(4)|N|=p，可得G超可解。

如果p=2，则由假设可得C是2阶循环群，这使得|E|=4且|N|=2。因此我们考虑p是奇素数的情形。显然由C在E的极大性可得|E:C|=p=|N:N∩C|。注意到N初等交换且C循环，我们得到|N∩C|=1或者p，这分别意味着|N|=p是或者p2。如果|N|=p，则(4)成立。所以我们可以假设 |N|= p2。因 为 M≅ G/N =G/CG(N)同构于GL(2，p)的一个子群，又因为|GL(2，p)|=p(p2－1)(p－1)，所以|M|p=1或|M|p=p。如果|M|p=1，那么N是G的Sylow p－子群，则N=E，从而C＜N，矛盾于(C，1)的极大性。因此|M|p=p，这意味着G的Sylow p－子群的阶是p3。于是|C|=p2且E∈Sylp(G)。因为(E∩M)∩N=1，注意到

E=E∩MC=C(E∩M)=N(E∩M)，

由引理8，我们有|N|=p，从而(4)成立。所以极小阶反例不存在，结论得证。

［注］(1)定理2中的假设“M不包含F(G)”不可以去掉，否则结论错误。例如，取G=S4且M是G的Sylow 2－子群。(A4，K4)是满足定理假设的M的一个极大θ－偶，但是G非超可解。

(2)定理2中的假设“如果|G:M|是2的方幂，还假设C/D是素数阶的”不可以去掉，否则结论也不成立。例如，取G=S4且M={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}。令 C= ＜ (1234)＞，显然C是4阶循环群，并且(C，1)是M的极大θ－偶使得G=MC，但是G非超可解。

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