基于区间戈登模型的证券投资的概率方法

李彩凤

(河池学院数学系，广西宜州 546300)

0 引言

证券市场是一个充斥着诸多不确定因素的模糊环境。用模糊集理论的方法来处理证券投资中的决策问题，己引起人们的普遍关注。文献［1］用模糊区间方法探讨了投资风险评估。文献［2，3］用可能性理论讨论了证券选择。文献［4］利用技术分析和模糊逻辑处理投资问题。文中利用模糊数理论构造模糊概率空间，建立证券投资数学模型。在文献［5，6］构造模糊概率空间中，投资者预期在未来时间的股价波动范围由投资者主观确定，过于主观。考虑股价以内在价值为基础，围绕内在价值上下波动，而不应是主观确定，因此，本文建立区间戈登模型，并提出一种基于期间戈登模型的证券投资的概率方法:先利用模糊理论建立区间戈登模型，从而确定未来时间的股价波动范围，然后由区间戈登模型确定未来时间的股价波动范围生成股价预测集，由股价预测集构造一个概率空间，最后利用股价预测集生成的概率空间及股价计算预期的盈利可能性。利用这些结果，我们获得了一个基于区间戈登模型的证券投资的概率方法，为证券投资者的决策问题提供一种新的解决途径。

1 预备知识

1.1 戈登模型

戈登模型是股利贴现模型假设股利以稳定的速度增长时的一种情况，是一种实际应用简便、广泛的普通股的估价模型。戈登模型为:股票价值

D0表示公司最近支付过的股利，K表示投资者预期的目标收益率(折现率)，g为预期股利固定成长率。设股票的价格为p0，若p0＜ps，表示股票的价值被低估，有投资价值;若p0＞ps，表示股票的价值被高估，没有投资价值。

1.2 区间数的运算

1.3 模糊数

其中，h(x)为递增函数，右连续，0≤h(x)≤ 1;H(x)为递减函数，左连续，0≤H(x)≤1，则称为一个模糊数。

1.4 概率分布函数

设R为实数域，β为R上的波莱尔(Borel)域，P为β上的概率测度。

2 建立区间戈登模型

在传统的戈登模型中，股票的内在价值是一个确定的实数，这不大符合实际情况。从实际运用来说，这不好操作，因为如果股票的现价稍高出或者稍低于内在价值股票的现价，就作出股票具有投资价值或者不具有投资价值，这种判断是不合实际的。从戈登模型中参数来说，在戈登模型中有两个关键的参数:固定红利增长率g及折现率K，这两个参数是难以精确确定，原因有三:一是，从计算的角度看。固定红利增长率g及折现率K有不同的计算方法，不同计算的方法得出不同的g及K的值。二是，从数据的采用角度看。银行的存款年利率(无风险报酬率)和折现率有密切的联系，即使用同样的方法计算折现率，银行的存款年利率不同也会得到不同的折现率。而不同存款年的利率不同，不同年份的银行利率有所不同。三是，从人的认识的角度来看。股利增长率是决策者对公司未来的股利的预测，折现率可以主观确定，也很难精确确定。因此，在戈登模型中，在使用戈登模型进行股票估价时结论应该是股票内在价值的范围，而不是一个确定的数值。

为此，本文尝试将区间折现率及区间股利增长率用于戈登模型中，建立区间戈登模型。即区间戈登模型为:股票价值，其中K是区间折现率K=［K-，K+］(折现率中的数据选取，尽可能选取折现率的最大与最小值，作为区间折现率的左端点与右端点)，g是区间股利增长率g=［g-，g+］。由区间数的运算法则及区间戈登模型得到股票的内在价值:

这时股票的投资价值是一个区间数，设、分别称为股票内在价值的下限和上限称为区间数［，］的距离。

由于本文在计算股票的内在价值中，尽可能选取折现率和股利增长率的最大和最小值作为区间折现率和区间股利增长率的左右端点，所以，得出的股票的区间内在价值［，］的距离也比较大，这意味着股价低于股票内在价值下限或高于股票内在价值上限的机会不多。令股价为p0，如果等到p0即股价低于股票内在价值的下限才买入，或者p0即股价高于股票内在价值的上限才卖出，那进行投资的机会就不多。为了捕捉投资机会0时的投资机会，本文利用区间戈登模型得出的区间内在价值，建立一个股价预测集，然后利用股价预测集构造了一个模糊概率空间，计算盈利可能性的大小，供投资者作出买进或卖出的决策依据。

3 股价预测集生成的概率空间

3.1 股价预测集的生成

设某股票S在未来时间［0，T］时间内股价的波动为［m，M］，为S的现价，ps=［，］为由本文第二分论点所计算出来的股票内在价值。

分析:考虑到股票价格应该以内在价值为基础，围绕内在价值上下波动。不妨设在未来时间［0，T］内，股价p在区间［m，M］内波动，股价在区间［m，M］外的可能性设为0。其中m是该股上市后的最低股价，M是该股上市后的最高股价。而且，股价p最可能在股票内在价值范围内［p-s，p+s］波动。

因此，得到基于内在价值的股价预测集。

定理2 设论域X={股票S在未来时间［0，T］内股价的取值}，若在论域X上的一个映射A(见图1)。

其中，h(p)为单调递增函数，在点m处右连续，0≤h(p)≤1(p∈［m，］);H(p)为递减函数，在点M处左连续，0≤H(p)≤1(，M)。则A是X上的Fuzzy集。也即A(p)是A的隶属函数。

由于0≤f(p)≤1，0≤F(p)≤1，显然，定理2成立。

图1 “［0，T］时间内股价波动”的隶属函数曲线

定义3{股票S在未来时间［0，T］内股价的取值}，若论域X上的隶属函数A(见图1)。

其中，［，］是股票S的区间内在价值，m、M分别为S上市后的最低、最高股价，h(p)为单调递增函数，在点m处右连续，0≤h(p)≤1(p∈［m，］);H(p)为递减函数，在点M处左连续，0≤H(p)≤1(p∈［m］)。则称模糊集是股票S基于内在价值的股价波动预测集。

为了应用简单，h(p)、H(p)均采用线性函数式(见图2)。

图2 “［0，1］时间内股价波动”的简化的隶属函数曲线

3.2 基于内在价值的股价波动预测集生成的概率空间

证:显然，f(p)是非负的，在数轴(-∞，+∞)上可积的实函数。

4 基于区间戈登模型的证券投资的概率方法

由于本文中的投资方法，是基于股票内在价值的投资方法，所以对股票的选择是关键的、首要的一步:选择业绩好而且比较稳定，公司没有不良信息，产业前景较好，未被过度炒作，最好是由于某种原因被低估的上市公司。

接着第二步是由股价计算预期的盈利可能性。

定义4 如果按股价p0买进股票，称P(P∈［p0，M］)为预期的盈利可能性，或称为预期盈利率。记为:e=P(P∈［p0，M］)。

由定义4得出预期的盈利可能性与股价p0的关系式，给出了一个投资者按自己的意愿(预期的盈利可能性)来确定或调整买入及卖出的价格。

第三步，由盈利的可能性分析是否买进或卖出。

投资者先按自己的意愿设定一个买进的盈利率的阀值e1，e1所对应的股价为p1。当盈利的可能性大于e1，即股价p0小于p1时，买进;当盈利的可能性小于e1时，即股价p0大于p1时，不买进。

投资者按自己的意愿设定一个卖出的盈利率的阀值e2，e2所对应的股价为p2。当股价p0大于p2时，卖出;当股价p0小于p2时，不卖出。

综上分析，基于区间戈登模型，利用以上得到的股价预测集的模糊概率，可得出股票的买进、卖出准则:

(1)当p0＜ps-时，即股价低于股票内在价值的下限，股票的价值被低估，有投资价值，买进。

(2)当p0＞ps+时，即股价高于股票内在价值的上限，股票的价值被高估，没有投资价值，卖出。

(3)当ps-＜p0＜ps+时，即股价高于内在价值的下限低于内在价值的上限。这时根据定义4，由股价p0求出盈利的概率，由投资者根据盈利的概率决定是否买进或卖出。

5 应用举例

这里选择了钢铁板块的宝钢股份作为考察对象，这里考虑到钢铁板块2008年财务数据罕见的特殊性，所以这里的计算只采用2007年以前(包括2007年)的财务数据。

考察宝钢股份:上市以来最低股价是3.62元，最高股价是22.12元。采用银行三个月的存款利率1.71%、5年整存整取的存款利率3.60%作为无风险利率的最小、最大值，根据不同的数据的采用及不同的计算方法得到折现率的期望区间为［9%，12%］(尽可能取计算中的折现率的最小和最大值作为区间的左、右端点)，同样的，投资者估计的红利增长率区间为［6.5%，7.2%］，D0用2007 年的财务数据为每股分红0.35元(这里考虑到钢铁板块2008年财务数据罕见的特殊性，所以这里的计算采用2007年以前，包括2007年的财务数据的。由式(2)计算得宝钢股份的内在价值ps=［7.76，15］，截止2010年6月19日收盘时，宝钢股份的市场价格为6.02元。投资者按自己的意愿设定的买进盈利率的阀值为82%，设定的卖出的盈利率的阀值为28%(宝钢股份的股价波动预测集如图3)。由阀值e1=82%求得相应的股价p1=8元/股，由阀值e2=28%求得相应的股价p2=14.9元/股。由于该股现价为6.02元，小于p1=8元/股，所以买进。

图3 宝钢股份股价波动预测集

6 结束语

本文中的方法与以往的证券投资的概率方法不同的是:不是主观确定股价的波动区间，而是立足于股票内在价值，由区间戈登模型得出股票的波动区间，然后给出证券投资的概率方法。文中的方法有以下特点:①立足于价值投资，只针对优质股、作中长线投资而作的研究，不适合于投机。②方法偏于保守，是悲观估计，回避了风险。因为中国的经济总趋势是向上发展的，而且，当前党中央、国务院已经出台了一系列政策措施，对稳定资本市场必将产生长期利好的影响，所以，股价落到上市后的最低点的可能性几乎为零，但是超过上市后的最高点的可能性是存在的，但是本文忽略了这可能性，是偏于保守的。③通过盈利可能性的估计由投资者确定买入和卖出的价格，体现投资者的意愿。

［1］Serguieva A，Hunter J.Fuzzy interval methods in investment risk appraisal［J］.Fuzzy Sets and Systems，2004，142:443-466.

［2］Carlsson C，Fuller R，Majlender P.A possibilistic approach to selecting portfolios with highest utility score［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002，131:13-21.

［3］Inuiguchi M，TaninoT.Portfolio selection under independent possibilistic information［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，115:83-92.

［4］Dourra H，Siy P.Investment using technical analysis and fuzzy logic［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002，127:221-240.

［5］李建新，胡刚.风险厌恶型的证券投资数学模型［J］.数量经济技术经济研究，2005(3):97-106.

［6］李建新，胡刚.基于模糊概率的股价波动分析模型［J］.系统工程理论与实践，2009(9):33-42.

［7］教育部高等教育司.证券投资学［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［8］杨纶标，高英仪.模糊数学与原理［M］.广州:华南理工大学出版社，2005.

［9］魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.成都:四川高等教育出版社，1983.

［10］张美红.折现率选择问题的探讨［J］.商业会计，2007(5):27-28.

［11］薛羽.折现率对投资决策的影响［J］.商情，2007(2):91-92.

［12］杨子平.项目投资评价中折现率的选择［J］.中国资产评估，2008(7):36-40.

［13］谈多娇.固定增长股利贴现模型(DDM)［J］.湖北经济学院学报，2009，6(2):180-182.