一个基于比率确定的捕食与被捕食收获模型的定性分析

李晶晶， 水树良， 张旭杨

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

在2个种群的相互作用中,捕食与被捕食系统是数学生态模型研究中一个重要的课题[1].在许多情况下,特别是当捕食者不得不搜索食物时,更切实际且更一般的捕食者-食饵2个种群模型应符合“比率依赖”理论[2-3].文献[2]对一类基于比率的Leslie型捕食模型在无收获条件下的情形做了定性分析;文献[4]讨论了带有Holling Ⅲ型功能反应的捕食与被捕食模型在非线性状态反馈收获下的性态.这些研究具有实际意义和理论价值,对可再生资源的合理利用与管理提供了帮助.

基于比率的捕食与被捕食收获的Leslie模型的一般形式为

(1)

(2)

式(2)中:r,p分别表示食饵和捕食者的内禀增长率;k表示没有捕食者时食饵的容纳量;m表示每个捕食者的最大取食率;q表示为了维持捕食者在某种平衡状态时所需食饵的比例常数;a,b,r,k,m,p,q,h均为正常数,c为待定参数,且设食饵的内禀增长率r>b,捕食者的内禀增长率p>h.

1 平衡点

(3)

当y≠0时

系统(3)的Jacobi矩阵为

在E1(x1,0)处,系统(3)的Jacobi矩阵及特征方程为

同理可得,E2(x2,0)是不稳定结点,E3(x3,0)是鞍点.归纳得定理2.

2 极限环的不存在性

接下来讨论极限环的不存在性问题.先给出2个极限环不存在的充分条件.

证明 对于系统(3)作线性变换x=σu,y=σv,τ=σt,得到的系统仍用x,y,t表示,则

3 分支与极限环的存在性

接下来给出系统(3)的正平衡点由稳定变为不稳定的分支值,并讨论极限环的存在性.

1)当cs<0时,系统(3)在唯一正平衡点E4(x4,y4)处的Jacobi矩阵及特征方程为

由于ξ>0,所以当φ<0时,特征根具有负实部,从而E4为稳定的正平衡点;当φ>0时,特征根具有正实部,从而E4为不稳定的正平衡点.

图1 外境界线

由此得定理7和定理8.

类似于E4的情形,以下证明正平衡点E6外围也至少存在1个极限环.

图2 外境界线

证明 类似于定理5,故略.

-(x-xP1)(x-xP2)>0,xP1

由定理6与定理9知,在一定条件下,该生态系统中的2个种群会产生生物性振荡现象.人为调整控制参数能使x种群与y种群长期共存,并最终稳定在一个极限环上.

参考文献：

[1]陈兰荪.数学生态学模型与研究方法[M].北京:科学出版社,1988:129-265.

[2]黄旭玲,周盛凡.一个基于比率确定的捕食系统的定性分析[J].上海大学学报:自然科学版,2005,11(6):606-610.

[3]Hsu S B.Global analysis of the Michaelis-Menten-type ratio-dependent predator-prey system[J].Mathematical Biology,2001,42(6):489-506.

[4]程荣福,李辉.具有Holling Ⅲ型功能反应的捕食与被捕食收获模型的分支与极限环[J].东北师范大学学报:自然科学版,2007,39(1):17-21.