一个新的有齐次核的Hilbert 型积分不等式及其逆

曾 峥, 谢子填

(1.韶关学院 数学与信息科学学院,广东 韶关 512005；2.广东肇庆学院 数学系,广东 肇庆 526061)

(1)

Hardy-Hilbert不等式在分析上有重要作用.近年来,人们陆续对积分型和级数型的Hilbert 型积分不等式作了推广[2-14].2008 年,笔者证明了如下有最佳常数因子的Hilbert 型积分不等式[2]:

(2)

2007 年,杨必成[4]给出以下结论:

(3)

同时,杨必成[5]给出以下结论:

(4)

笔者将应用权函数给出一个新的含有齐次核的Hilbert型积分不等式及其逆式，并证明了常数因子的最佳性.

则

(5)

(6)

易得

引理1证毕.

(7)

(8)

且式(7)和式(8)等价,常数因子K由引理1定义,K及Kp为最佳值.

(9)

(10)

且式(9)和式(10)等价,常数因子K及Kp为最佳值.

本文仅证明定理2,定理1的证明与之类似,故略.

定理2的证明 由带权Hölder不等式[15]得

(11)

(12)

由于

(13)

故

(14)

由Fatou引理得

(15)

于是

(16)

(17)

由式(16) 和式(10)即得式(9)成立,它们取严格不等号.综上，式(9)和式(10)等价.

参考文献：

[1]Hardy G H.Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terems[J].Proc London Math Soc,1925,23(2):Recrds of Proc.XIV-XIVI.

[2]Xie Zitian,Zeng Zheng.A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree-3[J].J Math Appl,2008,339(1):324-331.

[3]钟五一，杨必成.Hilbert 积分不等式含多参数的最佳推广[J].暨南大学学报:自然科学版,2007,28(1):20-23.

[4]杨必成.一个新的Hilbert 型积分不等式[J].吉林大学学报:理学版,2007,45(1):63-67.

[5]Yang Bicheng.On a new extension of a Hilbert-type integral inequality[J].International Journal of Mathematical inequalities and Applications,2007,1(1):33-40.

[6]杨必成.一个具有混合核的Hilbert 型积分不等式及推广[J].四川师范大学学报:自然科学版,2008,31(3):281-284.

[7]谢子填,付本路.一个新的有最佳常数的Hilbert 型积分不等式[J].武汉大学学报:理学版,2009,55(6):637-640.

[8]谢子填,曾峥.一个含有参量的Hilbert 型不等式[J].湘潭大学自然科学学报,2007,29(3):24-28.

[9]谢子填,梁刚.一个Hilbert 型不等式及其逆[J].肇庆学院学报，2007，28(2)：14-17.

[10]谢子填,周方敏.有最佳常数的Hilbert 型不等式的推广[J].四川师范大学学报:自然科学版,2009,32(5):626-629.

[11]谢子填.一个有2对共轭指数的Hilbert 型积分不等式[J].肇庆学院学报，2009，30(5)：25-28.

[12]Xie Zitian,Yang Bicheng.A new Hilbert-type inequality with some parameters and its reverse[J].Kyungpook Mathematical Journal,2008，48(1)：93-100.

[13]谢子填,慕容居敏.参量化的逆向Hilbert 型不等式[J].吉林大学学报:理学版,2008，46(4):665-669.

[14]谢子填.一个核含无理式的Hilbert 型不等式[J].数学的实践与认识,2008,38(16):128-133.

[15]匡继昌.常用不等式[M].3版.济南:山东科学技术出版社,2004.