幂函数剖面环形超声聚能器的振动特性及其仿真分析

刘世清， 苏 超

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 前 言

大功率超声振动系统中常使用聚能器来进行振幅放大和阻抗变换，以获得高振动的能量输出.目前工程应用中大多使用杆形聚能器，如指数型、阶梯型[1-2]等.变截面杆形聚能器能获得较高的前后振速比，在超声精密加工、超声振动切削等大功率超声技术领域应用广泛[3-5].

环形超声聚能器能在径向产生均匀振动，在大功率超声冷拔丝、拉管等工程技术领域具有广泛的应用前景[6].文献[7]对任意剖面薄圆盘振子的径向振动进行了研究；文献[8]研究了指数形等几种变厚度圆盘及圆环的轴对称平面径向及扭转振动问题；文献[9-11]对锥形及指数形剖面等厚圆板的轴对称三维振动进行了分析和研究.研究方法主要为解析法或有限元法等.在超声工程领域，聚能器通常与压电陶瓷等元件构成复杂的机电耦合振动系统，因而常采用机电类比等效电路进行分析与设计.特别对由多级聚能器级联而成的复合超声振动系统，等效电路法很便利.

本文以环形超声聚能器为研究对象，对剖面形状沿径向按幂函数变化的环形超声聚能器轴对称径向振动特性进行了研究;依据机电类比原理，导出其位移振幅放大系数、位移节圆方程，并建立其径向振动机电类比等效电路与频率方程.对环形聚能器的基频及第二阶径向振动特性进行了分析和探讨，并通过有限元仿真进行了验证.

1 n次幂剖面环形聚能器径向振动分析

图1 幂函数剖面环形超声聚能器示意图

如图1所示的环形聚能器，其平均厚度大大小于其直径，即为薄圆环.并且其内缘厚度小于外缘厚度，构成由外向内的聚能器，可获得较大内外表面位移振幅比.设环形聚能器厚度随半径变化的函数为h(r)=h0rn，h0为常数，r为环半径.对于径厚比较大的薄圆盘，其厚度方向振动可忽略，而只认为其做平面径向振动.任意变厚度剖面薄圆盘轴对称运动微分方程为[1]

(1)

式(1)中:ξr为径向振动位移分量;ρ为材料密度;σ为材料泊松比;ω为圆频率;E为材料弹性模量.环中径向正应力为

将h(r)=h0rn代入式(1)得

ξr(r,t)=[C1f(r)+C2g(r)]ejωt.

(4)

v(r,t)=jω[C1f(r)+C2g(r)]ejωt.

(5)

2 位移振幅放大系数

位移节面(位移为零的面)及振幅放大倍数是聚能器设计的两大重要参数.设rn形剖面聚能器内、外侧面处质点位移振幅分别为ξb，ξa.利用自由边界条件

ξr(r)|r=b=ξb,Tr(r)|r=b=0

(6)

及式(4)得C1,C2的表达式为:

(7)

(8)

式(7)～式(8)中：

(9)

(10)

将待定系数C1，C2的表达式代入式(4)，得径向位移分布函数为

(11)

对于振动位移节圆，其位移为零，即ξr(r)=0，由式(11)得节圆方程为

G(b)f(r)=F(b)g(r).

(12)

求出圆环的径向共振频率，即可由式(12)确定环形聚能器中位移节圆的位置，该位置可用于支撑或固定聚能器.定义位移振幅放大系数M为内、外侧面质点位移振幅之比，由式(11)得位移振幅放大系数的表达式为

(13)

3 机电等效电路及频率方程

以Fa,Fb,Va,vb分别表示聚能器内外辐射面处外力与质点振速，一般边界条件为：当r=b时,v=vb；r=a时，v=-va.由此可得待定系数C1,C2的表达式为:

(14)

(15)

将式(14)及式(15)代入式(2),得到

(16)

由一般力学边界条件Fr|r=a=Tr|r=a·Sa=-Fa,Fr|r=b=Tr|r=b·Sb=-Fb, 可得出圆环内外表面力和质点振动速度之间的关系为:

(17)

(18)

式(17)～式(18)中,Sa=2πaha,Sb=2πbhb分别为薄圆盘外表面和内表面的辐射面积.式(17)及式(18)可进一步整理为如下形式:

(19)

(20)

式(19)～式(20)中:

(21)

(22)

式(21)～式(22)中:Z0a=ρcrSa,Z0b=ρcrSb分别为薄圆环内、外表面的特性力阻抗.由四端网络理论知，式(19)及式(20)可用如图2所示的T型等效电路来描述.图2中各臂等效机械阻抗为

(23)

(24)

(25)

对自由振动薄圆环聚能器，机械端短路.由等效电路图2可得其外侧面机械端输入阻抗为

(26)

将式(23)～(25)代入式(26)，并由机械共振条件得聚能器共振频率方程为

F(a)G(b)=F(b)G(a).

(27)

图2 幂函数剖面环形聚能器机电等效图

共振频率方程式(27)为一含非整数阶第一类和第二类Bessel函数超越方程，借助数值分析软件可精确求出相应共振频率的数值解.其共振频率决定于振子的几何参数、材料特性以及相应的振动阶次.

4 数值计算及分析

以常用的45号钢材料环形聚能器为例进行数值计算.取剖面变化函数为h(r)=6rn,n=1,2,3，材料特性参数为ρ=7 800 kg/m3，σ=0.28,E=209 GPa.聚能器外径为2a=100 mm，外缘厚度为15 mm，并保持不变，改变内半径b的值.计算中引入半径比λ=b/a，并且对n=2的抛物型剖面环形聚能器位移振幅放大系数及第一和第二阶径向共振频率进行了有限元仿真计算.理论与有限元仿真数值计算结果如图3～图8所示.

图3、图4分别为幂次n=2的聚能器第一与第二阶径向共振模态仿真图.图5、图6分别为幂次n=1，2，3的3种剖面环形聚能器的基频与第二阶径向共振位移振幅放大系数M与其内外半径比的关系.从图3～图6可以看出，振幅放大系数存在一极大值.该极大值对应的半径比与n有关.n越大，振幅比极大值对应的半径比越小.另外，位移振幅比极大值随n增大而增大，而第二阶共振位移放大系数显著大于基频.作为聚能器，总希望有较大的位移振幅放大系数.因此，就振幅放大系数而言，第二阶振动模式甚优于基频模式.此外，从图3还可以看出，对较低幂次的变厚度环形聚能器的基频振动模式，当其内外半径比小于一定值时，振幅放大系数小于1，即不构成由外向内的聚能器.如对n=2的抛物型剖面环形聚能器，此半径比值约为0.2.换言之，此情况下可作为由内向外的聚能器应用.理论与有限元数值仿真计算结果相一致.

图3 聚能器基频径向共振模态(n=2)

图4 聚能器第二阶径向共振模态(n=2)

图5 基频共振位移振幅放大系数与半径比关系

图6 第二阶共振位移振幅放大系数与半径比关系

图7、图8分别为幂指数n=1，2，3三种剖面环形聚能器的第一和第二阶径向共振频率与其内外半径比的关系.从图7可以看出:环形聚能器的基频径向共振频率随其半径比增大而单调下降;对第二阶径向共振模式，随着半径比的增大，共振频率开始略有下降;当半径比大于一定值时，共振频率随半径比的增大而单调上升，特别当聚能器半径比趋于1，即趋于薄壁圆环极限情况，其第二阶径向共振频率趋于无穷大.因此，薄壁圆环弹性振子只存在径向共振基频，而无径向高阶谐频.理论与有限元结果一致.从图7～图8还可看出，幂次n越高，环形聚能器的径向共振基频越低，而其第二阶径向共振频率却随n增大而升高.

图7 基频径向共振频率与半径比关系

图8 第二阶径向共振频率与半径比关系

5 结 论

1)建立了厚度按n次幂函数变化的环形超声聚能器径向振动机电类比等效电路，从等效电路导出了径向振动频率方程，并得出了聚能器的位移振幅放大系数计算式.

2)剖面厚度幂次因子n越高，环形聚能器的内外振幅比越大；第二阶径向共振模式比基频具有更大的振幅放大系数.此外，环形聚能器振幅放大系数随其半径比的变化存在极大值，因此，要获得较大的径向位移振幅比，应选择合适的几何尺寸.理论与有限元数值仿真结果吻合.

3)当内外半径趋于相等时，环形聚能器只存在径向谐振基频，无二阶以上径向振动高次谐频.此结论可推广到其他剖面形状的环形聚能器.

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