新混沌系统的自适应控制与噪声中的同步研究

叶 慧,章亭芳

(江苏科技大学 数理学院，江苏 镇江212003)

0 引言

由于混沌系统对初值的敏感性和长时间的不可预测性，控制混沌和混沌同步就成了混沌应用的关键环节，文献[1]基于Lyapunov稳定性理论实现了连续混沌的自适应控制，文献，文献〔2-5〕采用了不同的方法实现混沌同步问题，但对于在噪声作用下的异结构同步研究较少。 笔者在文献[6]的基础上接着对新混沌系统进行研究。首先分析它的动力学行为，在参数未知时设计一连续的自适应控制器，通过调整控制增益提高控制速度,并证明所给控制器能使受控混沌系统全局渐近稳定。接着研究在有界噪声作用下文献[6]中的两个新混沌系统的异同步控制器的控制效果，用Matlab软件进行数值仿真，检验了该控制器具的鲁棒性和抗干扰能力。

1 新混沌系统的描述

1944年Nadolschi在研究刚运动时引入了一个新的系统,其特点是它的右端还有三个非线性项，在不同参数下可产生多个不同的吸引子。此新的混沌系统的数学模型为：

其中X=(x,y,z)T∈R3为系统的状态变量，其中a,b,c为系统参数。

2 系统的稳定性分析

（1）对称性和不变性。首先，注意到系统(1)在变换S：(X，Y，Z) →(-X，-Y，Z);S：(X，Y，Z)→(X，-Y，-Z);S：(X，Y，Z)→(-X，Y，-Z);下对于所有的参数 a，b，c 具有不变性，则这些变换表明系统关于x，y，z轴都是对称的，即此系统关于原点对称。显然，坐标轴本身也是系统的解轨线，即，若t=0时有X=0，Y=0，Z=0，则对于所有的 t＞0，仍然有 X=0，Y=0，Z=0.更进一步说，对于t趋于0，坐标轴上所有的解轨线都趋向于原点。

（2）耗散性。当参数 a+b+c＜0 时，系统是耗散的。Δv==a+b+c它是收敛到一个零测度集=ea+b+c，即v(t)=v0e(a+b+c)t，其中v0是系统体积的初始值。

（3）与其他系统不同的是，令方程右端为零，我们得 该系统存在五个平衡点：］

由系统的Jacobi矩阵 可以求得系统的特征方程为：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc-mx2+z2+my2)λ+(mx2a-z2c+2mxyzmy2b-abc)=0上式中λ为待定的特征根将平衡点E0(0,0,0)代人 特 征 方 程 中 ， 有 ：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc)λ-abc=0，由Routh-Hurwitz判据，只要有 abc＞0,则 E0(0,0,0)是不稳定的。下面分析平衡点E1,E2,E3,E4的不稳定的参数条件，由系统(1)在变换S下及这些平衡点关于坐标轴的对称性，所以只需要分析其中之一即可。如我们仅仅分析E1(的稳定性。将E1代入上述特征方程有λ3-(a+b+c)λ2+2abc+2m=0可得平衡点E1)不稳定的参数条件为：abc＞0， m＞0， a+b+c＜0

（4）根据上面的分析,根据Matlab软件我们可画出他的吸引子图。见图1。

当a=4.5,b=-12,c=-5,m=1/3时，系统是一个两涡旋的混沌系统。当a=0.4.,b=-12,c=-5，m=1/3是一个四涡旋的混沌系统,且系统不存在Hopf分叉。

3 控制方法

下面考察将系统（1）全局渐近稳定到这五个平衡点E1,E2,E3,E4的控制问题。

党的十八大报告高度评价：以毛泽东为核心的党的第一代中央领导集体，在社会主义建设中取得的独创性理论成果和巨大成就，为改革开放新的历史时期开创中国特色社会主义道路“提供了宝贵经验、理论准备、物质基础”。这充分肯定了以毛泽东为核心的党的第一代中央领导集体作为突破苏联模式、初步探索中国特色社会主义道路的奠基者的历史性贡献。

在控制律（2）中k用作自适应可调函数，β是自适应增益常数，β＞0改变β值可以适当改变自适应的速度。

定理1 通过自适应反馈控制器（2），受控闭环系统

在零点全局渐近稳定，即原混沌系统（1）能被全局渐近稳定到它的五个不稳定的平衡点Ei。

证明:现构造如下的Lyapunov函数

即V˙负定.据 Lyapunov 稳定性定理，可知受控系统（3）的零解渐近稳定，亦即原系统（1）全局稳定于平衡点。

取 β=-5，采用（2）式控制律，以在平衡点 E0(0,0,0)为例，取初始值为（-1，-1，-1），作出受控闭环系统的三维相图如图2所示。

由图2可知，在参数a未知的情况下（2）控制器，受控的闭环系统都是全局渐进稳定于平衡点E0(0,0,0)。

4 在噪声下的两类新混沌系统的异结构同步

在实际的物理环境中，噪声是普遍存在的.实际的混沌系统是不可避免地受到噪声的干扰.因此研究在外噪声作用下同步方法[7]的鲁棒性就极其重要.有界噪声与理想的白噪声相比，它是一个更切合实际的合理的噪声模型.下面考虑外加有界噪声对文献[6]自适应同步方法的影响.

以新混沌系统（1）为例，注意观察系统（1）可发现它还有三个非线性项，我们如果把它稍微变动就可发现它与最近陈关荣等最近研究Lorenz系统时，在Lorenz系统的第一个状态变量上加上一个非线性项，从而得到的另外一个新的混沌系统

此系统与（1）系统有相同的结构特征，当a1,b1,c1的取值不同时它们有不同形式的混沌吸引子。在a1=40,b1=25,c1=-3时系统(4)的混沌吸引子图3

文献[6]给出了系统(1)和(4)在控制率为如下（5）时，这两个新混沌系统的异结构同步。

其中β为大于0的数(β是自适应增益常数，改变它的值可以适当改变自适应的速度)。

现以将 Dξ(t)加到响应系统(4)式的右边，ξ(t)=cos(Ωt+σB(t)+Γ)，其中 σ,Ω 为正的常数，B(t)是单位 Wiener过程，Γ 是[0,2π]之间均匀分布的随机变量，D是噪声强度。采用控制器(5),模拟数据仍用文献[6]中的数据，选取有界噪声ξ(t)中的参数Ω=1.0,σ=1.0,噪声强度 D=0.5。 用 Matlab 仿真,画出图 4。

数值研究结果表明：在有界噪声的作用下，自适应同步误差在趋于零的过程中会出现一定的扰动，此时自适应同步误差变得比较粗糙，但不影响最终的控制效果。

5 结论

对新混沌系统进行分析，得出其具有的五个平衡点都是不稳定的参数条件。接着运用反馈的控制方法，通过坐标变换，对混沌系统（1）进行了控制。在系统参数未知时，克服了一般的自适应控制中的控制律不连续这一缺点，设计一连续的自适应控制器使混沌系统渐近稳定。然后研究在有界噪声作用下该系统的的异同步控制效果，表明了自适应控制器方法具有较强的鲁棒性和抗干扰能力，数值仿真进一步说明这种方法是有效的。

[1]Loria,A，Panteley,Enijmeijer,H.Control of the Chaotic Doffing E-quation with Uncertainty in all Parameters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I.1998,(45).

[2]Zhang Huaizhou,Qin Huashu.Adaptive Control of Chaotic Systems with Uncertainties[J].Int J.Bifurcation and Chaos,1998,8(10).

[3]蔡国梁,黄娟娟,超混沌Chen系统和超混沌Rossler系统的异结构同步,物理学报,2006.55(88).

[4]李爽,徐伟,李瑞红等,异结构系统混沌同步的新方法，物理学报,2006.55(11).

[5]Julien Clinton Sprott Chaos and Time-Series Analysis[M].London：Oxford UniVersity Press,2003.

[6]叶慧，姚洪兴，一类新混沌系统的控制与异结构同步及其在保密通信中的应用，江苏科技大学学报，2007，(10).

[7]贾飞蕾，徐伟，一类参数不确定混沌系统的延迟同步[J].物理学报，2007,56（06）.