Malmquist生产率指数方法中两种测度标准之间的比较研究

王 铮

（郑州大学 升达经贸管理学院，郑州 451191）

0 引言

最近，越来越多的国内学者使用全要素生产率来研究我国的总体或区域经济增长问题。全要素生产率方法也引起了许多学者的重视。从对它的度量方法上看，从最初的Laspeyres指数发展到Tornqvist指数方法，然后直到上世纪90年代提出了所谓Malmquist生产率指数方法。Malmquist生产率指数方法是在Malmquist数量指数的基础上构造而成，建立在距离函数之上，用于测度全要素生产率变化的一种新方法。1994年，Fare提出了基于DEA方法的非参数Malmquist生产率指数算法并得以广泛的应用[1～5]。

我国学者也对这一领域进行了跟踪研究，做了大量的实证研究[6，7]。虽然现有的文献已经取得了较好的成果，但我们发现这些成果主要集中在应用方面，很少有经济学者关注该方法的理论基础问题，特别是关注其测度全要素生产率时的测度标准问题。实际上，由于全要素生产率是由产出投入比来定义的，因此Malmquist生产率指数方法在测度它时的理论框架按测度标准的不同分为两大体系。一个是基于产出的非参数生产前沿面体系；另一个是基于投入的非参数生产前沿面体系。很明显两大体系的测度标准是不同的，前者以产出的最大化为标准，而后者以投入的最小化为标准。通常学者们在采用Malmquist生产率指数方法进行应用研究时，并不考虑这两种体系之间的区别，或者并没有在文献中给出选择某一体系的原因。从而使得研究不够深入。那么，从理论上来说，这两种方法体系是否具有等价性？这就是一个值得我们研究的重要理论问题。进一步，对该理论问题的回答有助于解决实际应用中应选择哪一种体系的学术问题。本文拟首先以基于产出的非参数生产前沿面的Malmquist生产率指数方法为例，简单介绍Malmquist生产率指数方法的测度与分解方法体系，然后从距离函数这一关键环节入手，深入分析两套体系的本质，在此基础上给出相关的结论和建议。

1 理论框架

基于产出的非参数生产前沿面的Malmquist生产率指数方法，通常假定投入不变，从产出最大化的思想出发，将基于生产前沿面的非参数方法与生产率指数理论结合起来，建立全要素生产率的非参数测度模型，具体内容如下：

用N维向量x=(x1，…，xN)表示N种投入，M维向量u=(u1，…，uM)表示M种产出，则所有可能的投入和产出组成的生产技术集可表示为 GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}。 对于所有投入向量，用 P(x)表示可行产出集，P(x)={u:(x,u)∈GR(x，u)}。在每一个特定时期t=1，2，…，T，生产技术集由所有可能的投入产出向量组成的，即(xt，ut)={(xt，ut):xt可以生产 ut}。对于时间 t， 有 xt∈和 ut∈，其中定义投入集N=maxt{Nt}，产出集M=maxt{Mt}。在每一个时期所观测的决策单元为k=1，2，…，K，假定 K=maxt{Kt}。 上述假定可以保证如果 Mt≠Mt+1、Nt≠Nt+1， 通过加入 0 元素使 Mt=Mt+1、Nt=Nt+1。 为导出Malmquist生产率指数，首先考虑单投入单产出的基本情形。同时假定已有t和t+1两个时期的投入产出数据，则全要素生产率δTFP可以定义为：

在规模收益不变的条件下，每个时期的产出与投入距离函数可写成：

上述公式是利用t期的技术描述的。同理，如果采用t+1期技术来表达TFP，则有：

为了与其他生产率指数（费舍尔指数Fisher index number，汤奎斯特指数Tornquist index number）相对应并保持形式上的一致性，一般取上述两种指数的几何平均值，在规模收益不变的条件下，基于产出的Malmquist生产率指数的定义式为：

根据距离函数的特性，上述公式同样适用于多投入多产出情形[2]。

由于谢泼德定义的距离函数是所对应的法雷尔技术效率函数的倒数，所以可以将生产率指数的距离函数描述转化为效率函数描述。据此转化的效率函数描述的定义式为：

对于每一决策单元k，两时期交叉的技术效率由于不必保证 xt+1∈Lt(ut+1|C，S)和 xt∈Lt+1(ut|C，S)，其线性规划解可以大于1。其中，式（1）在规模收益不变和要素可自由处置的条件下，可以分解为如下形式，即：

括号外面是两个时期资源配置效率的比值，与技术水平的变化无关，只表示两个时期生产资源配置效率水平的变化率。括号中两个比率的平方根可以看作是在t+1和t时期之间用两个比率的几何平均数表示的技术水平变化率。根据上述分解可以给出下面两个定义。

定义1 在规模收益恒定且要素自由处置（C，S）的条件下，基于产出的资源配置效率变化率为：

定义2 在规模收益恒定且要素自由处置（C，S）的条件下，基于产出（即产出可扩张）的技术水平变化率（或技术进步率）为

由于上述公式中使用的技术效率函数都有对应的非参数可测算模型，因此可以采用基于生产前沿面的非参数方法进行测度。至此建立了基于产出非参数前沿面的Malmquist生产率指数方法体系。

2 比较分析

基于投入的Malmquist生产率指数模型，有：

其中，四个技术效率函数的非参数模型为：

进而可以分解成基于投入的资源配置效率变化率ηt+1

i(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)和技术水平变化率 λti+1(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)的乘积，即：

在规模收益恒定且要素自由处置（C，S）条件下，定义基于投入的资源配置效率变化率和技术水平变化率（或技术进步率）为：

可以看出，基于产出非参数前沿面的体系和基于投入非参数前沿面的体系之间的差异体现在，针对同一问题采取两种不同的测度标准：一种是在给定投入的前提下，使产出最大化；另一种是给定产出的前提下，使投入最小化。两者之间联系的关键就在于由谢泼德（R.W.Shephard,1953～1970）提出的，基于生产前沿面思想的，以生产技术集合论描述为基础的产出与投入距离函数。这两个函数之间的关系是基于产出非参数前沿面的Malmquist生产率指数和基于投入非参数前沿面的Malmquist生产率指数之间异同的本质原因。因此，下面考虑产出距离函数与投入距离函数之间的关系。

首先考虑在投入确定条件下，描述产出可扩张性的产出距离函数。采用前面定义的生产技术集GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}和可行产出集 P(x)={u:(x，u)∈GR(x，u)}，由其经济含义，可将生产技术集与可行产出集之间的关系表示为：

GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈P(x)}

产出距离函数在多产出情形下最小值可能无法得到，比较严格的定义需要使用“下确界（infimum）”来代替最小值，即产出距离函数应该表示为：

可以看出，产出距离函数表示的是产出向生产前沿面的最大限度扩张或逼近。类似于以产出集作为函数的产出距离函数，投入距离函数以投入集作为函数，描述在产出确定条件下投入的可压缩性。如果投入集为L(u)={x:(x,u)∈GR(x,u)}，投入距离函数可以表示为Di(u,x)={λ＞0:(x/λ)∈L(u)，u∈}。投入距离函数是在多投入条件下投入最大可能压缩的上确界。由于当且仅当x∈L(u)时u∈P(x)，我们也可以用产出集来表示投入距离函数，即：

由于 Do(x，u)≤1⇔Di(u，x)≥1，且在技术表现为规模收益不变和要素自由处置（C，S）的条件下，投入确定条件下的产出可扩展性与产出确定条件下的投入可压缩性是等价的，此时对于所有 x∈u∈的投入产出集(x，u)，时期 t的产出距离函数和投入距离函数有如下关系：

因此，基于产出非参数前沿面的体系和基于投入非参数前沿面的体系之间有如下的关系：

即规模收益不变和要素可自由处置的条件下，基于产出非参数前沿面的Malmquist生产率指数和基于投入非参数前沿面的Malmquist生产率指数之间具有等价性。两者计算得到的结果是一致的。

3 结论与建议

既然研究结果表明，在规模收益不变和要素可自由处置的条件下，基于产出非参数前沿面的Malmquist生产率指数和基于投入非参数前沿面的Malmquist生产率指数方法是等价的。那么，从理论上来说，实证分析中使用哪一种方法体系都可以。但需要注意的是，在某些具体问题的研究中，由于数据本身的原因，使得某一种体系的计算结果出现不收敛的情况，从而导致无法对相关问题进行实证分析。在这种情形下，我们建议可以采用等价的另一种方法体系来对问题进行研究，从而得到有效的实证结果。

[1]Caves D.W.,Christensen L.R.,Diewert W.E.The Economic Theory of Index Numbers and the Measurement of Input,Output,and Productivity[J].Econometrica,1982，(6).

[2]CharnesA,CooperW,Seiford L.M.Data Envelopment Acnalysis:Theory,Methodology,and Application[M].Dordrecht:Kluwer Academic,1994.

[3]Fare R,Grosskopf S,Norris M.Productivity Growth,Technical Progress and Efficiency Changes in Industrialized Countries[J].American Economic Review,1994，(84).

[4]Haslem John A,Scheraga Carl A,Bedingfield James P.DEA Efficiency Profiles of U.S.Banks Operating Internationally[J].International Review of Economics and Finance,1999，(3).

[5]Kohli U.A Cross-National Product Function and the Derived Demand for Imports and Supply of Exports[J].Canadian Journal of Economics,1982，（18）.

[6]原鹏飞.中国制造业生产效率变迁实证研究[J].软科学,2005，(6).

[7]朱钟棣,李小平.中国工业行业资本形成、全要素生产率变动及其趋异化:基于分行业面板数据的研究[J].世界经济,2005，(9).

[8]顾海,孟令杰.中国农业TFP的增长及其构成[J].数量经济技术经济研究,2002，(2).