直觉的解题功能

李青

在数学教学过程中，学生碰到的大都是常规性数学问题。这类问题是数学问题中的基本问题，它既是课堂教学的重点，同时也是考查学生学习情况的重点。但是在实际教学过程中，由于应试教育的压力，学生过多的精力被浪费在如何提高解决此类问题的熟练程度上，导致学生思维方式的僵化，阻碍学生创造性的提高。因而在数学教学过程中适当地增加一些非常规性的题目就显得尤为必要。所谓非常规性数学问题就是不是简单地套用数学的定义、定理或按照特定的模式而解决的题目，它需要学生从实际的数学问题出发，试图从不同的角度、用不同的方法去探索数学问题解决的途径。非常规性数学问题无疑对于培养学生思维的灵活性、深刻性和广阔性有很大的帮助。非常规性数学问题的解决有一些基本的策略和方法，其中依靠直觉猜想问题答案是最重要的方法之一。

1 归纳直觉的解题功能

归纳猜想是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过度普遍化的推理方法。拉普拉斯曾经说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”所以培养学生的归纳猜想能力是很重要的，这种思维形式的主要步骤是：实践——归纳——推广——猜想——证明。也就是说当遇到一个抽象化的非常规问题（通常与n有关），难以入手时，设法把它具体化、特殊化，即用几个特别的例子通过观察、分析，归纳出结论或解题的一般规律。

分析A是一个比较复杂的和式，也不是具体的数，直接比较大小比较困难，只好采用归纳猜想：于是猜想猜想结论可用数学归纳法证明。

2 类比直觉的解题功能

所谓类比法就是某种类型的相似性。对象甲与乙可类比，意味着它们在某方面相同或相似（或概念相似，或结构相似，或性质相似等）。类比的目的在于根据对象甲与乙的性质相似，推出它们另外的一些属性也相似。这种思维的形式是：联想——类比——猜想。就是把所研究的问题与以前熟知的有关内容加以应用，可设问：以前见过它吗？是否见过相同的问题而形式稍微不同？是否知道一个与此有关的问题？是否知道可能用得上的问题？然后回到研究的问题中来。

3 一般化与特殊化直觉的解题功能

一般化是由个别到普遍，特殊到一般的认识方法。其基本特点是从同类的若干现象中发现它们的共同规律，由特殊的、较小范围内的认识扩展到更普遍、较大范围内的认识。将待解的特殊问题一般化，从而猜得问题的解法，这便是一般化猜想的实质。波利亚说：“如果一批问题是彼此相关的，解决起来有时还比单独去解决其中一个容易些——因为多个问题是彼此很好地相互联系的，而一个问题本身是独立的。”特殊化与一般化相反，它是人们由普遍到个别、一般到特殊的认识方法，其基本特点是以被研究对象的普遍规律为基础，肯定个别对象具有个别属性。把复杂的一般性问题特殊化，猜得解题方法，这便是特殊化猜想的实质。这种方法是否奏效，关键是能否找到一个合适的特殊条件。

特殊条件下的特殊问题一要易解，二要能由其解猜得原一般性问题的解法。要将一个普遍性的数学问题特殊化，通常情况下并不难，只需适当地加强某些条件或增加些限制即可。正是因为如此，一个一般性问题经不同的特殊化处理可以得到不同的特殊问题。

4 直观形象猜想的解题功能

所谓直观形象猜想指的是在解决数学问题中，借助图形来研究数量关系，这里的图形可以是几何图形、函数图象，还可以是图表，甚至是示意图等。借助几何模型进行想象，可以使问题的条件与结论之间的关系更加简单明了，从而导致逻辑通道的一目了然与思维过程的避繁就简。不仅如此，它还可以通过形象使学生从整体上把握问题的实质，抓住关键，推动思维活动的开展。著名数学家华罗庚教授在这方面有一段精彩的论述：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非。”所以在解决非常规性的数学问题中，直观形象无疑是一件利器。

分析 按照常规定势，应孤立根式，两边平方，整理后再孤立再平方，从而化为有理式求解。这样一来可能产生增根，更主要的是整理以后的有理方程将是四次方程。解四次方程是繁难的。所以只好转换思考角度，分析题目的特点，从几何直观上考虑此方程的几何意义：是否可以把左边的两个根式看成两个两点间的距离，从而题设方程便变为两距离之和为常数，据此再求x呢？也就是说，能否与椭圆进行联系，把解方程的问题化归为平面解析几何中有关椭圆的性质的问题呢？事实上，变形原方程得它表示点(x,1)的坐标到两定点(2,0),，(−2,0)的距离之和为6(＞4)。纳入椭圆定义式，即知点(x,1)的坐标满足椭圆方程从而可解出x的值。