等效思想的充分应用——单摆周期公式的分析与比较

陈丽欣

(山西省实验中学 山西 太原 030002)

平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到，学生多是运用等效的物理思想，求得等效重力加速度a′，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单摆的周期公式

(1)

中的重力加速度值g，从而得到答案.这里的加速度a′是指除摆线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度.下面举两个例子试说明之.

【例1】以加速度a向上做加速运动的电梯顶部挂一摆线长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为何？

图1

解：摆球所受的力，除摆线张力之外,还有竖直向下的重力mg和竖直向下的惯性力ma，如图1所示.这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度a′=g+a代替(1)中的g，即得此单摆的周期公式

图2

【例2】以加速度a向右做加速运动的小车顶部挂一摆长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为何？

解：摆球所受的力，除摆

上述两例均是从等效原理出发，找到等效重力加速度代入公式即得.但很多时候学生往往不能接受这种等效处理方式，认为有些牵强.而且这种做法也的确是机械的代入公式求答案，对学生思维能力的提高并没有提供很好的帮助.

笔者在给竞赛班学生上课时，给出了平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导，其过程如下：

图3

如图3，设摆球在平衡位置时偏离竖直方向θ0角，摆球在平衡位置时切向力为零.则有方程

(2)

解得

(3)

(4)

如图4所示，在K′系中，假设摆球任一时刻相对于平衡位置的摆角为θ.

图4

(5)

整理有

(6)

即

(7)

亦即

(8)

把(3)、(4)式代入(8)式，因为θ角很小，故可取sinθ≈θ，cosθ≈1，则有

(9)

(10)

(11)

则

(12)

上式即为平动非惯性参考系中单摆的周期公式.

可以验证利用上式解例1、例2所得到的结果和用等效处理所得到的结果是一致的.我们再看一道例题.

【例3】如图5所示，在倾角为φ的固定光滑斜面上有一从静止开始下滑的小车，车厢顶部有一摆长为l的单摆，摆球质量为m，求此摆的周期.

图5

解：车为非惯性平动参考系，其相对地面沿斜面向下的加速度a=gsinφ，故

代入(11)式有

图6

我们再用求等效重力加速度的方法求解此题.

摆球所受的摆线张力以外的其他力，为向下的重力mg和沿斜面向上的惯性力f惯=mgsinφ.这两个力的合力所产生的等效重力加速度a′可由余弦定理求得

gcosφ

故周期

可见，两种方法所得到的结果是一致的.虽然公式(11)的导出稍显麻烦，但其推导过程更令学生信服，其结果更具说服力和一般性.我们在竞赛教学中不仅要注意给学生灌输一定的物理思想，更要注意借助一定的数学推导求出一般的定量的结论.当然最好是这两者结合起来才能收到事半功倍的效果.