积极培养小学生的数学“猜想”能力

薛　美

何谓“猜想”？猜想是对研究对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识做出符合一定经验与事实的推测性想象的思维判断。恩格斯曾说过：“只要科学在思维着，它的发展形式是‘猜想。”对于数学研究和发现性学习来说，猜想是一种合情合理、属于综合的、带有一定直觉性的高级认识过程。数学事实上首先是被猜想，然后才被证实。正如有了著名的哥德马赫猜想后，才吸引了一批像陈景润那样的数学家孜孜不倦地去研究、去探索；又如摩根的关于地图着色的“四色猜想”、“笛卡尔—欧拉公式”。正是这些独特魅力的猜想，深深吸引了无数数学家投身其中去研究、去攻克，成为推动数学发展的强大动力。正如美国G·波利亚所说：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”因此，我认为在数学教学中要重视猜想，因为猜想可以激发学生的兴趣，调动学生的知识积累，使他们的观察、理解、分析、判断、推理等多种智力因素得到充分发挥，从而达到发展思维的目的。根据多年对数学教学中猜想的实践和研究，我认为在小学数学教学中的“猜想”主要有以下三类：类比性猜想、归纳猜想和探索性猜想。

一、类比性猜想可以实现知识的有效迁移

运用类比的方法，通过对两个或多个对象的比较或问题的相似性观察（部分相同或整体类似），得出数学新知识或新方法的猜想，就是类比性猜想。这种猜想以学生已有的经验为基础，有所创新，有所发展，它需要经过实践的检验才能真正进入实际的应用轨道。如，在教学三角形面积时，我先让学生准备相同的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两块，让他们尽量使用两块三角形拼图，从中整理出已学过的规则图形，如长方形、正方形、平行四边形，然后让学生经过观察、类比，哪些条件在共用，哪些部分有区别，再猜想一下三角形的面积该如何求，又如教学“分数基本性质”时，我先出示三个算式1÷2、2÷4、3÷6，问这几个算式之间有什么关系？（它们的商相等）运用了什么规律？（商不变的性质）如果把除法算式改写为分数，得到1/2、2/4、3/6，这三个分数之间有什么关系？有的学生猜想它们相等，有的猜想不相等，由此可以展开下面的教学，对所做的猜想加以验证。

二、归纳性猜想能够激发智慧的浪花

归纳性猜想是指运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例、特例进行观察、分析，从而得出有关的原理、结论或方法的猜想。联系小学数学教学实际，有许多归纳性猜想例子。如我在奥数教学中讲到等比数列的求和公式时，就请一个学生到黑板前面，让他从离门3米远处笔直地向门边走，并要求他一步走1米，第二步走1/2米，第三步走1/4米，以此类推，能否到门边？不少人脱口而出“能”，于是我再让学生一步步地走，发现所走路程S=1+1/2+1/8+…这个过程永无止境，全班学生情绪高涨，一起分析他能否走到门边。由求和公式S=2＜3，得出结论：他永远不能走到门边，只能“望门兴叹”。又如在圆周长的教学中，我首先让学生通过操作得到直径1厘米的圆周长为3厘米多一些，直径是2厘米的圆周长为6厘米多一些；直径3厘米的圆周长为9厘米多一些；然后让学生猜想，圆周长与直径是什么关系？学生猜想圆的周长是直径的3倍多一点，再进行多次验证来证明猜想是否正确。又如从3×3=6+3，4×4=12+4，5×5=20+5…可以猜想出n×n=n×（n-1）+n。再如在长方体体积的教学中，我先出示长方形的纸片，问它的面积大小与什么有关系？再出示长方体猜一猜长方体体积的大小与哪些因素有关系？让学生观察由1立方厘米的小正方体拼成的各种长方体，从而猜想到长方体的体积与它的长、宽、高有关，得出长方体的体积=长×宽×高。

三、探索性猜想促成创造性思维发展

探索性猜想是指运用尝试教学法，依据已有的知识和经验对新知识或新问题做出结论的方向性或局部性的猜想。它是一种需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐步增强其或可靠性或合理性的猜测。例如在平行四边形的面积的教学中，我先出示三个图形（图中注明方块的面积都是1平方厘米），要求分别求出它们的面积；然后学生通过数格子、剪拼、割补，很快得出它们的面积。这时让学生猜想平行四边形如何计算？面对新问题学生可能猜想，平行四边有相邻两边相乘或者平行四边形的底乘以高。我接着问：“同一平行四边形的面积为什么有两种计算方法，到底哪个正确？”以激发学生去探索、去验证。

人类已由混沌跨入文明，我们对这个世界的认识正在日益加深，而这种认识越深刻，问题也就越多地显现出来，这使得我们对这个神奇的世界充满了遐思和种种猜想，创造性思维应该是人最美的思想之花，而猜想是它的催化剂，它让我们体验到了智慧的诞生与传承。让我们在数学教学中多运用一些猜想，让学生“自己引导思维”，像自然科学家和数学家那样去经历“猜想、验证、确定”的过程，体验“冒险、创造、发现”的喜悦和成功。