浅谈实际问题中的设元

陈应标

摘要：根据问题设出未知数——找出问题中的所有等量关系——用已知量或者设出的未知数去表示各个量——确定相等关系写出方程；大胆设元。

关键词：实际问题 相等关系 设元 大胆

初中阶段，方程与实际问题是数学教学的重点也是难点。实际问题与一元一次方程，实际问题与二元一次方程组，实际问题与一元二次方程，贯穿整个初中数学始终。用方程解决实际问题，其实质是将实际问题转化为数学中的方程问题来解决，这种转化关键环节就是设未知数、列方程。

列方程是困扰广大师生的老大难问题，许多同学一看到应用题就头疼，不知从何下手，面对应用题的复杂多样，变幻莫测，许多老师也感到束手无策，找不到一种简单实用的方法。

新课程标准明确指出：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。

利用方程解决实际问题从一个侧面体现了数学与现实世界的联系，体现了数学的建模思想。在新课标下的教材一改以往教材的编写手法，以模型思想为主线，从实际问题引出方程，以方程解决实际问题——实践与探索为结尾编写了方程这块内容，给人以耳目一新的感觉。它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，深刻认识到方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值；同时也给任课教师带来了挑战。

所谓的列方程解应用题，就是将实际问题转化成数学模型，建立方程来解决，方程是含有未知量的等式，由实际问题转化成方程就需要找出能表示问题含义的一个主要的等式，用字母表示适当的未知数(设元)，其它的未知数则根据数量关系用含元的代数式(数学符号)表示，最后将一个主要的等量关系中的量用数学符号表示，从而将等量关系转化成方程，实现将实际问题转化成数学模型的目的。从这里我们可以看出，实现从问题到方程的桥梁是问题中的等量关系及元。寻找等量关系及合理设元成了解决问题的关键。

寻找等量关系，在众多的等量关系中，我们不妨对它们进行分类：①基本的等量关系，它是公式或一些生活常识，例如：路程=时间×速度；总价=单价×数量；鸡脚总数=2×鸡的数量。②显性的等量关系，它是问题中明确给出的，相对明显。③隐性的等量关系，它隐含在题意中，学生必须根据自己的生活经验判断，如甲乙两人从异地相向而行到相遇，这里就隐含着等量关系：甲行走的时间二乙行走的时间。找出问题中所有的等量关系后，选取一个主要的并能体现题意的等量关系列方程。

设元是列方程或方程组解应用题的重要环节。只有设得巧，才能解得妙。那么应怎样设元呢？

设元方法有间接设元和直接设元两种，直接设元法就是把要求的量直接用未知数表示,间接设元法就是选取一个与问题有关的量为未知数,通过这个未知数求出题中要求的量。

本人从事初中数学教学近十年，经历过老教材，在老教材中，给出的例子、模式较单一，许多教师就将它们归结为几类问题，分别针对每一类型问题，建立一种固定的解决模式，使用起来较为方便。

然而，新课程改革提倡的是，让知识来源于生活，服务于生活，为了更贴近生活，在实际问题的取材上，范围就变得更广，模式更繁多。再采用一一建立模型的方法就不那么容易了。只能笼统地对它们进行大致的概括，通常采用的步骤是：

认真审题找出相等关系——分析各量之间的关系设出未知数——分别表示出相等关系中的每一个量，得出方程。

这个过程中的重中之重是准确找出相等关系。在一个实际问题中，数量之间的关系有几个，每个关系都举足轻重，然而能作为相等关系的往往只有一个，这个关系可能是一句话，也可能就是一个数。它就是这个实际问题的灵魂。初学者最好用文字写下来，便于分析。准确找出相等关系后，就是设未知数的问题了。想办法将相等关系中的每一个量都表示出来，有的可以直接写出来，有的需要用其它量来表示。这时就要权衡，只需设一个（或两个）未知数就能将相等关系中的所有量表示出来。这是列方程的又一个关键。只要将这两个问题解决了方程基本上就出来了。

然而要解决这两个问题又谈何容易呢？新课程标准虽然对问题的形式要求多样化，但对解决问题的方法上要求却降低了。对于初中阶段的实际问题绝大多数都能用设直接未知数的方式来解决。设直接未知数即问题问什么就设什么为未知数。既然大多数实际问题都是设直接未知数，在分析问题时，能不能先设出未知数，再来找相等关系呢？

例：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？

分析：问题中虽然有两个未知量要求，我们可以设其中任一个为X，若设制作盒身的是X张，则两个等量关系：

（1）制盒身的铁皮数＋制盒底的铁皮数=36

（2）制成的盒身数×2=制成的盒底数

将未知数代入第一个关系可表示出制盒底的铁皮数为(36-x)张，再由第二个关系可得方程 2×25x=40(36-x)

这种方法采用的是设直接未知数，解题时先设出未知数，这种方法有利于缩小范围，便于更准确快捷地找到相等关系，对于绝大多数新课程标准下的初中数学实际问题都行之有效。

本例也许并不能很好地体现先设未知数的优点。但是通过多次实践证明，它能很好地引导学生的分析思路，对于找到相等关系很有帮助，当然它不是万能的，对于不能设直接未知数解决的问题，在先设直接设未知数无法完成时再考虑设其它量。这种类型的题目始终是少数，因此在教学时，不妨将顺序变一变。

即：根据问题设出未知数——找出问题中的所有等量关系——用已知量或者设出的未知数去表示各个量——确定相等关系写出方程。

新课程标准表面上降低了对学生的要求，删掉了部分难的与现实生活联系较少的内容，也增加了平常生活中常用的，统计、概率等方面的知识。淡化概念，简化计算，注重实际应用与动手操作。然而，要想能灵活运用，没有过硬的基础知识、基本技能又何谈应用呢？因此新课程标准其实对学生提出了更高的要求。无形中加重了学生的学习负担，作为教师，则应该尽量将知识浓缩，探究更好的学习方法应对之。对于初中阶段困扰师生的方程与实际问题，采用先设直接未知数不失为一种“投机取巧”的好方法。

不少同学在学习了列方程解应用题，受习惯思维影响，对一些复杂数量关系的应用题也只想用一个未知数去列方程，从而无法列出方程解决问题。这时应改变思维习惯，大胆设元，巧妙消元。这就是设而不求的解题策略。

例.一个农场的工人们要把两片草地的草锄掉，大的一片草地的面积是小的一片草地面积的两倍。上午工人们都在大的一片草地上锄草，午后工人们对半分开，一半留在大片草地上，工作到晚上就把草锄完了，另一半人到小片草地去锄草，到晚上还剩下一块，次日由一个工人锄草，恰好要一天的时间，问这个农场有几个工人？

分析：显然，题目隐含了每个工人的工作效率是一样的，题目中未告诉工人的工作效率是多少？两块草地的面积是多少？怎么办？我们可以大胆设元；

若设面积小的草地面积为a，每人每天锄草为b，工人总数为x人。根据题意

有，在这两个方程中，有三个未知数a、b、x，而我们只关注x，于是我们有如下解法：

解：设面积小的草地面积为a，每人每天锄草为b，工人总数为x人

则①

②

由①可得：③

由②可得：④

∴x=8

答：这个农场有8个工人。

因此,在初中阶段的实际问题与方程中，能准确设出未知数，是解决问题的关键，只有熟练掌握了设元的技巧，才能又快又准地设出未知数，从而列出方程解决实际问题。

设元是培养解题策略意识的重要课题,通过设元实现实际问题向数学问题的转化,构建条件与结论之间联系的桥梁,有利于优化解题的设计方案。教学中要培养学生从“敢”于设元到“善”于设元,设之有益,设之有用,并引导学生从思想方法的高度去认识变元所处的地位和作用,将会收到良好的效果。

参考文献

《新课程标准》、《大胆设元 巧妙消元》