垂径定理在圆锥曲线中的推广和运用

陈爱荣

圆有个很重要的性质叫“垂径定理”：

若AB为⊙O的一条弦，P为AB的中点，则k㎡P•k〢B=-1.这一性质可以在圆锥曲线中进行推广，而且有很好的应用价值.(为叙述方便，下文把推广的结论都称作定理.)

定理1 若点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过椭圆中心O的弦AB的中心，则k㎡P•k〢B=-b2a2.

定理2 若点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过双曲线中心O的弦AB的中点，则k㎡P•k〢B=b2a2.

定理3 若点P(m,n)是抛物线y2=2px(p>0)的不平行于坐标轴且不过抛物线顶点的弦AB的中点，则k㎡P•k〢B=pm.

(1)若抛物线方程改换为y2=-2px(p>0)时，则k㎡P•k〢B=-pm.

(2)若抛物线方程改换为x2=±2py(p>0)时，则k㎡M•k〢B=±np.

证明：这里只对定理1给出证明，定理2、3可类证.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”