构造思想与学生解题能力的培养

周秀峰

一、构造数学模型，培养学生的思维能力

“问题是数学的心脏.”我们在研究或解决一类问题时，如果通过类比、联想，发现它与另一类数学问题有密切的联系，便可构造出一个新的数学模型，使问题得到解决.构造数学模型解题是一种创造性思维，没有固定的模式，它是深刻分析、正确思考和丰富联想的产物.构造一个恰当的数学模型，能给人以启示，可使学生迅速准确、灵活巧妙地解决问题.

例1解方程x３+2 x２+3x+ -1=0.

分析：三次方程解起来有一定难度，可换个角度把 看做未知数，x看做已知数，构建二次方程模型：

x•（ ）２+（2x２+1） +x３-1=0.①

解方程①，得 = ．

则有 =1-x或 =－ ，即x２+（ +1）x+1=0，所以可得方程的三个根为：x１=1- ，x２=－ ， x３= .

例2设 x，y∈R，求证（x４+y４）（x２+y２）≥（x３+y３）２.

分析：我们可通过构造向量模型，解决不等式的证明.不等式左边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）模平方的积，不等式右边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）内积的平方，故有（x３+y３）２=（a，b）２=|a|２|b|２cos２?兹≤|a|２|b|２≤（x４+y４）（x２+y２）.

二、运用已有信息储备构造辅助问题，培养学生的数学建模能力

数学教育的核心问题是数学思维问题，学生学习数学是数学思维过程和结果的综合，学数学不仅要学知识，更要学思考，学思想.当学生已有一定的数学知识后，教师应抓住典型例题，创造情境，培养学生的思维能力和建构能力.教师应引导学生利用已有的知识和技能构造辅助问题.在不等式的证明中，可通过构造函数，利用函数的增减性证明不等式.

例3已知α３-3α２＋5α=1，β３-3β２+5β=5， 求α+β.

解：注意到两个已知等式的左边具有相同的结构，故可引入辅助函数.

ｆ（x）=x３-3x２+5x进而化成f（x）=（x-1）３+2（x-1）+3，再引入函数g（u）=u２+2u，则f（x）、g（x）之间有关系，g（x-1）=f（x）-3，易见g（u）是单调上升的奇函数，而题中的条件变成g（α-1）=f（a）-3=-2，g（β-1）=f（β）-3=2．由g（u）的性质知α-1，β-1在x轴上关于原点对称，故有（α-1）+（β-1）=0．由此得α+β=0.

三、通过联想构造辅助问题，培养学生的发散思维

思维的开阔性是创新思维的重要形式，是散发思维具体表现.对学生创新思维的培养，是培养人才的关键.在平时学习和解题研究中，教师应有意识地渗透构造的思想和方法，注重学生思维的训练，注重积累作为联想和构造的基础，定能找到解决问题的途径，可提高教学质量和学生的解题能力.构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的构造绝不是单一思维方式的产物，而是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果．应用构造思想解题属于求异思维的范畴.

例４x∈R，a为正常数，且f（x）满足f（x+a）= ，求证：f（x）是周期函数.

分析：要证明f（x）是周期函数，只能从定义出发，但从题中找不到函数的一个周期，观察题目结构，可联想到所给式子与tan（ +x）= 相似，而tanx最小正周期为π= ×4，可猜到f（x）周期为4a.

证明：f（2a+x）=f［a+（a+x）］= = =-，

f（4a+x）=f（2a+（2a+x））=- =- =f（x）．

又a＞0，所以4a为f（x）的一个周期，即f（x）为周期函数.

另外，对于一些不同的命题甚至是不同类的命题，可通过它们之间的一些相似点寻求统一的解题模式，这里又有着求同思维的因素．掌握好构造思想和构造法，对提高我们的思维能力有很大的好处.虽然开始时会有一定的难度，但只要自觉地坚持进行由浅入深的系统训练，最终必有可喜的收获．构造数学模型求解应用问题，是对构造提出了更高层次的要求，除了要求能对数学各分支的知识进行本质上的沟通外，还须有对其他学科知识进行综合把握和综合应用的能力.如何解决好这类问题将是一个大课题.本文中所探讨的解决应用问题的基础，对研究应用问题是大有裨益的.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”