三角形的内角与外角

刘明玉

三角形是最基本的几何图形之一，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可以转化为三角形问题来解决.三角形内角和定理及外角的性质是“三角形”这一章的重要内容.学习这部分内容仅记住定理和推论是不够的，要能准确地叙述定理，规范地作出图形，用数学符号和数学语言进行证明，这样才能对定理深刻理解，熟练掌握，灵活运用.

1. 理解定理及性质

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.

三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

课本参照图1对三角形内角和定理进行了说明，这里我们参照图2对三角形内角和定理及外角的性质进行说明.

如图2，延长线段BC至点E，过点C作CF∥AB.

根据平行线的性质，可得∠ACF=∠A，∠FCE=∠B.

∵∠BCE=180°，

∴∠ACF+∠FCE+∠ACB =180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°.

由∠ACF=∠A，∠FCE=∠B，可得∠ACF+∠FCE=∠A+∠B. 故∠ACE=∠A+∠B.所以∠ACE>∠A，∠ACE>∠B.

2. 范例分析

例1如图3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]图3中的这5个角是分散的，如果能将分散的角集中到某一个三角形中，问题就能轻松获解.

解：如图3，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D .

∠1、∠2、∠A是同一个三角形的3个内角，所以∠1+∠2+∠A=180°. 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

[说明：]利用三角形外角的性质，将分散的角集中到一个三角形或一个多边形中，利用三角形内角和定理或多边形内角和公式进行计算，这是计算复杂多边形中几个内角之和的常用方法.

实践探究题1：如图4，已知∠3=∠1+∠2，试说明∠A+∠B+∠C+∠D=180°.

（提示：过点F作FH∥EC，说明FH∥GB，应用平行线的性质及三角形外角的性质，可使问题获解.）

例2（“希望杯”竞赛题） 如图5，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°， ∠O=30°，求∠C的大小.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]根据角平分线的性质，设∠ODC=∠ODA =x°，∠OBA=∠OBC=y°.以∠1和∠2为桥梁，列出等式，用代数方法进行计算.

解：∵∠1=∠C+2x°，∠1=∠A+2y°，

∴∠C+2x°=∠A+2y°.

∴∠C=∠A+2y°-2x°. ①

又∠2=30°+x°，∠2=27°+y°，

∴30°+x°=27°+y°.

∴y°-x°=30°-27°=3°.②

由①②可得

∠C=∠A+2（y°-x°） =27°+2 × 3° =33°.

[说明：]解这道题时，根据角平分线的性质，将两组相等的角分别设出，应用三角形外角的性质，使∠1、∠2成为联系已知量和未知量的桥梁，再用代数的方法进行计算即可.

实践探究题2：如图6，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，且∠D=40°，求∠A的大小.

（答案：∠A=80°.）