例析对顶三角形的性质

2008-06-10 09:17林秀玲
关键词:内角四边形线段

林秀玲

如图1,线段AD与线段BC相交于O点,连接AB、CD,我们把△AOB和△COD称为一组对顶三角形.根据三角形的内角和为180°,我们很容易就得到对顶三角形的特殊性质:如果一组对顶三角形中的两个对顶角分别为∠1、∠2,则∠1所在的三角形中另外两个内角之和等于∠2所在的三角形中另外两个内角之和.在图1所示的对顶三角形中有∠A+∠B=∠C+∠D.

这条性质看似简单,但在求某些复杂图形中多个内角之和时作用可大着呢.请看下面几例.

例1图2是一个星形图案,求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的大小.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析:]观察图形,我们发现连接AB、BC、CD、DE、EA都能构成对顶三角形,这样就把求这五个角之和的问题转化为求三角形内角和的问题,而三角形的内角和为180°,问题就轻松解决了.

解:连接CD,则△BOE和△COD是一组对顶三角形.

根据对顶三角形的性质可知,∠B+∠E=∠OCD+∠ODC.所以有

∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E

=∠A+(∠B+∠E)+∠ACE+∠ADB

=∠A+(∠OCD+∠ODC)+∠ACE+∠ADB

=∠A+∠OCD+∠ACE+∠ADB+∠ODC

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°.

例2如图3,∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E=.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析:]只要连接CD就可构造出一组对顶三角形,利用对顶三角形的性质和三角形的内角和定理,即可求出这五个角的和.

解:连接CD,则△AOB和△COD是一组对顶三角形,于是可知∠A+∠B=∠OCD+∠ODC.所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠OCD+∠ODC+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠ECD+∠EDC+∠E

=180°.

例3如图4,∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F= .

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析:]连接CD可构造出一组对顶三角形,利用对顶三角形的性质,可以把求这六个角之和的问题转化为求四边形内角和的问题,而四边形的内角和是360°,于是问题即可解决.

解:连接CD,则△EOF和△COD是一组对顶三角形,于是可知∠E+∠F=∠OCD+∠ODC.所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F

=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠OCD+∠ODC

=∠A+∠B+∠BCD+∠ADC

=360°.

【小结】在求某些复杂图形中的多个角之和时,可通过添加适当的辅助线,构造对顶三角形,利用对顶三角形的性质,把所要求的多个角之和问题转化为多边形的内角和问题,可使问题得以快速解决.

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