例析对顶三角形的性质

林秀玲

如图1，线段AD与线段BC相交于O点，连接AB、CD，我们把△AOB和△COD称为一组对顶三角形．根据三角形的内角和为180°，我们很容易就得到对顶三角形的特殊性质：如果一组对顶三角形中的两个对顶角分别为∠1、∠2，则∠1所在的三角形中另外两个内角之和等于∠2所在的三角形中另外两个内角之和.在图1所示的对顶三角形中有∠A+∠B=∠C+∠D．

这条性质看似简单，但在求某些复杂图形中多个内角之和时作用可大着呢．请看下面几例．

例1图2是一个星形图案，求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的大小．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]观察图形，我们发现连接AB、BC、CD、DE、EA都能构成对顶三角形，这样就把求这五个角之和的问题转化为求三角形内角和的问题，而三角形的内角和为180°，问题就轻松解决了．

解：连接CD，则△BOE和△COD是一组对顶三角形.

根据对顶三角形的性质可知，∠B+∠E=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E

=∠A+（∠B+∠E）+∠ACE+∠ADB

=∠A+（∠OCD+∠ODC）+∠ACE+∠ADB

=∠A+∠OCD+∠ACE+∠ADB+∠ODC

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°．

例2如图3，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E=．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]只要连接CD就可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出这五个角的和．

解：连接CD，则△AOB和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠A+∠B=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠OCD+∠ODC+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠ECD+∠EDC+∠E

=180°．

例3如图4，∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F= ．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]连接CD可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质，可以把求这六个角之和的问题转化为求四边形内角和的问题，而四边形的内角和是360°，于是问题即可解决．

解：连接CD，则△EOF和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠E+∠F=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F

=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠OCD+∠ODC

=∠A+∠B+∠BCD+∠ADC

=360°．

【小结】在求某些复杂图形中的多个角之和时，可通过添加适当的辅助线，构造对顶三角形，利用对顶三角形的性质，把所要求的多个角之和问题转化为多边形的内角和问题，可使问题得以快速解决．