探索三角形中的角

杨志红

同学们都知道，三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形角平分线的性质对于解答与三角形有关的问题有着很重要的作用，灵活应用这些定理和性质有助于提高我们的解题能力.下面举例说明.

例1如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，试说明∠BPC=90°+∠A.

[解析：]在△BPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）.

∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）.

∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BPC=180°-（180°-∠A）

=90°+∠A.

[点评：]三角形内角和定理、角平分线的性质以及整体代入思想在解这道题的过程中起着重要的作用.

同学们可以参照例1试着解答下面这道练习题.

练习：如图2，点P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，试说明∠P=90°-∠A.

例2如图3，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，试说明∠P=∠A.

[解析：]可利用三角形外角的性质、角平分线的性质解题.

∵∠PCE是△PBC的外角，

∴∠PCE=∠PBC+∠P.

故∠P=∠PCE-∠PBC.

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠ABC+∠A.

故∠A=∠ACE-∠ABC.

∵∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，

∴∠A=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）.

又∠P=∠PCE-∠PBC，

∴∠A=2∠P，即∠P=∠A.

[点评：]在求三角形中角的关系时，常用到三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形角平分线的性质，利用好它们之间的关系，可以很方便地解决问题.