求解三角形数学思想方法大盘点

赵卫东

数学思想方法是数学应用的重要组成部分，是对数学概念和原理的本质认识.在“三角形”这一章中，就蕴涵着许多重要的数学思想．现例析如下，供同学们参考．

1． 分类讨论思想

分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐一进行研究的一种数学思想．用分类讨论思想解题时，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．对问题进行分类讨论时，必须做到不重不漏，必须按同一标准进行分类．

例1已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 ∶ 4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）．

A. 20° B. 120°

C. 20°或120° D. 36°

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]题中只给出了等腰三角形两个内角的度数之比，至于哪个是顶角、哪个是底角却没有明确说明，故应分两种情况进行讨论．

解：（1）当顶角与一个底角的度数之比为1 ∶ 4时，三个内角的度数之比为1 ∶ 4 ∶ 4，这个等腰三角形的顶角为180° × =20°.

（2）当一个底角与顶角的度数之比为1 ∶ 4时，三个内角的度数之比为4 ∶ 1 ∶ 1，这个等腰三角形的顶角为180° × =120°．

故选C．

2． 整体思想

研究某些数学问题时，往往不是从问题的某个组成部分着手，而是将要解决的问题中的几个或全部元素看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，进行整体处理后，达到解决问题的目的，这就是数学中的整体思想．

例2如图1所示，∠1+∠2+∠3+∠4=．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]在本题中，若直接求出每个角的度数再求和显然是不可能的．通过仔细观察我们发现，可以利用三角形的内角和分别求出∠1+∠2和∠3+∠4，则问题迎刃而解．

解：由三角形的内角和可知，∠1+∠2=180°-30°=150°，∠3+∠4=180°-30°=150°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=150°+150°=300°．

3. 方程思想

方程是一种解决数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构建方程解答，这就是数学中的方程思想．在有关角度的计算中，如果依据题设和相关图形的性质列方程求解，往往可以使计算变得非常简便．

例3如果将一个多边形的所有内角从小到大排列起来，则它们恰好依次增加相同的度数，其中最小的角为100°，最大的角为140°.这个多边形的边数为多少？

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]最小的角为100°，最大的角为140°，并且这些角依次增加相同的度数，则该多边形的内角的平均度数为（100°+140°）÷2=120°．可设这个多边形的边数为x，构造方程解之．

解：由题意可知，该多边形内角的平均度数为120°．

设该多边形的边数为x，则有120x=（x-2）×180.

解得x=6．

故此多边形为六边形．