计算能力我最强，一题多解显神通

摘要：2023年云南中考数学第24题是困扰大多数学生的问题，尤其是一元二次方程中的含参问题成为很多学生的计算痛点.本文中从三个思路解决计算问题，帮助学生提高计算能力和推理能力.

关键词：一题多解；一元二次方程;含参运算；计算能力

1 试题呈现

2 试题分析

2.1 立足常规，夯实“四基”

上述试题作为作为2023年云南省数学中考卷的压轴题，突出考查了重点，并保持适当的梯度，呈现出一定的综合性和跨越性，考生做题时较容易上手；在常规问题的基础上，强调学生利用基础知识和基本技能，体会基本思想，从而获得基本活动经验.由于试题对学生的思维和推理能力要求较高，所以具有很好的区分度.

2.2 重视数学基本活动经验的积累和数学思想方法的渗透

“新课标”提出“三会”素养：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.数学基本活动经验的积累和数学方法的渗透被提到了新的高度.上述试题体现了这一理念，对学生思维的深度和广度都有一定的要求.着重考查学生的推理能力、抽象能力和计算能力.同时，上述试题第（1）（2）问的解法不止一种，均存在一题多解的情况.每一种方式都需要学生亲自动手，全程参与，最终在多种方法中找出适合自己的方法，不断地练习，并熟练运用.这样的设问方式不断在提示学生，对数学是理解，而不是模仿.但凡模仿，都走不远.

2.3 难点分析

（1）忽略函数为一次函数时的情况，不少学生直接根据根的判别式证明方程根的情况，默认函数为二次函数.这个属于难点，同时亦是扣分点.

（2）解含参的一元二次方程问题，很多学生看到参数就觉得很难，不愿意尝试.系数含参也是本题的难点之一.

（3）第二问求整数解的问题，学生不会灵活运用

分式转化的技巧，不会熟练运用分离参数法，导致第二问无从下手.

2.4 易错点分析

（1）没有运用分类讨论思想，没有考虑一次函数的情况，从而导致漏解.

（2）计算根的判别式时符号出错，对完全平方公式掌握不牢固，无法准确识别一个二次三项式可以因式分解为完全平方公式，从而不能判断根的判别式的正负情况.

（3）部分学生在第二问成功分离了常数，但在讨论整数解时，遗漏了负数整数解，从而使第二问漏解.

3 教学功能

本题可用于二次函数章节的复习中，考查二次函数与一元二次方程的关系；着重训练学生的计算能力和推理能力.尤其是对于含参的一元二次方程的求解是很多学生的难点，本题恰好可以作为训练的素材.本题亦可用于中考复习函数专题中，由于二次项系数含参，因此，需要对函数关系进行分类讨论.此外，本题还可以在讲解分离参数的专题时使用，第二问本身就是涉及分离参数讨论整数解的问题，因此教师在训练学生使用分离参数法解决问题时，本题也是一个很好的选择.

4 教学实施

4.1 第（1）问解决思路

教学说明：通过分析本题的难点和易错点，笔者发现对于多数学生而言，本题最困难的地方在于含参数的一元二次方程的计算.本题的切入口并不难找到，基础一般的学生也能将第（1）问的解答写出一部分来，但是将根的判别式化简至完全平方式是非常考验学生的计算能力.因此，笔者提供了另外两种方式，旨在帮助学生提高计算能力和推理能力.

4.2 第（2）问解决思路

教学说明：对于大部分学生来说，第（2）问已经远远超出了能力范围.看到分式，不知如何讨论整数解的问题.因此，笔者设计了两种分离参数的方法以供学生学习，意在训练学生分类讨论的能力.不少学生会漏解a的值，其原因就是没有真正掌握分离参数的方法.分离参数法不仅仅在中考数学中有所涉及，对于高中数学而言，分离参数法也是一种非常重要的求值方法.因此，选择两种方式讲解也可以达到初高衔接的作用和效果.

5 教学启示

通过研究本题的解法和观察学生的做题情况，笔者有一些感悟与读者分享.第一，日常教学要夯实基础，直击数学本质.基本概念要讲清，定理要显示完整，法则要落实到位.尤其是运用公式和定理计算时，不能仅仅局限于常数的教学，需要适当加入参数的运算，这样才能真正提高学生的运算能力，夯实数学基础.第二，强化基本技能，提升关键能力.典型题型需要练习到位，通性通法逐一落实，知识迁移训练一体.例如在一元二次方程中判断根的情况，通法就是利用判别式，这是日常教学中反复强调的解法，需要在课堂中及课后作业中将其落实到位.第三，让学生经历完整的探索解决问题的过程，培养问题解决意识，形成基本活动经验和基本活动思想.为什么很多学生不能独立完整地解出根的判别式或者利用求根公式计算出方程的根，原因在于日常的计算都是教师“包办”的，学生自己没有完整地将习题全部计算一遍，所以在考试时就无法在规定时间内准确算出结果.第四，强化应用意识和创新意识，形成核心素养.让学生经历从生动直观到抽象概括、再到发散探求、最终回归本质的思维过程，深耕厚植素养形成.注重一题多解的教学，让每个题目的效用发挥到最大.