借助对称激活解题灵感

对称是初中数学知识体系的重要构成部分，也是一种解决数学问题的常用方法.事实上，运用对称解决数学问题，因习题创设的情境不同，解题的思路存在一定的差别.一般情况下，都需要作出辅助线，构造对应的几何图形，通过灵活运用几何图形的性质，迅速找到突破口.

1 最值问题

最值问题是初中数学日常测试以及中考常考常新的一类习题.解题思路因题而异，其中通过对称，运用三角形的三边关系，可以迅速获得解题的灵感.解题的过程中，根据题干情境，确定对称的对象（一般是点），分析出点、线段的特殊位置尤为关键，可以联系所学及解题经验，积极尝试.

点评：明确四边形ADEB的周长由哪几条线段构成，作出辅助线，利用对称性进行等量代换，巧妙地将线段AD和BE转化到一个三角形之中，容易得出当D，A，M三点共线时，四边形ADEB的周长最短.

2 参数范围问题

求参数的取值范围一般运用不等式、函数知识进行分析.然而对于部分与几何图形相关的问题则需要另辟蹊径，通过对称构造出新的图形，运用对称的性质及几何图形性质，深入研究构造出的新图形，确定对应参数的上下限，得出最终的取值范围.

点评：该题难度较大，作出对称图形后，需要证明四边形ACHD为平行四边形，运用相似三角形构造比例关系.同时，需要充分挖掘隐含条件，运用三角形的三边关系构造不等式，进行线段关系的转化.

3 面积问题

初中数学中求解面积问题时主要运用规则几何图形的面积计算公式，对于不规则的几何图形，可以通过分割、补形转化成规则的几何图形后进行处理.但是对于部分习题，需要通过对称及联系所学判断出几何图形的轮廓，明确几何图形可以分成几个规则的图形，借助所给的已知条件计算出最终结果.

点评：该题的难点在于判断线段CC1扫过区域的轮廓，选取点P和点A、点D重合的特殊位置作点C关于直线BP的对称点.同时，运用已知条件、几何图形的性质判断线段CC1扫过的区域由哪些几何图形构成，逐一计算后求和.

4 角度问题

求解角度一般通过几何图形（等腰三角形、直角三角形、等边三角形）的性质、外角定理进行角度的转化、计算.但是对于部分习题，需要满足一定的条件，这就需要具体问题具体分析，尤其当题干中涉及最值问题时，可以通过对称，化抽象为直观，找到点的特殊位置后进行计算.

点评：解答该题需要突破两个关键点.其一，通过对称，作出辅助线，确定|PA-PB|最大时点P的位置，判断△A′BC为等边三角形；其二，灵活运用三角形的内角和、角度之间的关系进行角度间的正确计算.

综上所述，通过对称可以构造出新的几何图形，实现角度、线段间的等量代换，更快地找到解题思路，提高解题效率.其中对哪个对象作对称，关于哪条直线进行对称是难点.为有效地切入相关习题，需要扎实掌握与对称相关的基础知识，并在做题中不断积累经验，总结技巧，从而少走弯路.