“整合”教材例习题，搭建学习结构链

摘要：教材是教学的重要依据，是学习的主要工具.文章从“同类习题生长提炼、形似习题串珠成链、通法习题璧合珠连、关联习题重构凝炼”四个方面入手，实施“联网知识结构、扩阈方法结构、构筑经验结构、深化思维结构”的结构化视角下的教材习题整合策略.

关键词：结构化；教材习题；整合

教材在教学中的重要性不容忽视，它不仅是知识传递的基础，更是教学评估的重要依据.目前部分教师在讲授教材习题时就题论题，缺少整体观下的知识建构和路径归纳，这些碎片化的学习导致学生缺乏系统性的思维训练，缺失对数学本质的学习.

《义务教育数学新课程标准（2022年版）》指出：“课程内容组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系.”[1]结构化视角下的初中数学教材习题整合，就是以单元整体为方向，结构化为核心，驱动性问题为支架，对教材习题进行重组，在知识的建构-解构-优构过程中，提升学生整体观下的系统性思维和能力.

1 整合策略

笔者立足结构化视角，提出“同类习题生长提炼，联网知识结构；形似习题串珠成链，扩阈方法结构；通法习题璧合珠连，构筑经验结构；关联习题重构凝炼，深化思维结构”四个方面的整合策略并进行实践思考，致力于让初中数学“结构化”教学产生实践意义.

1.1 同类习题生长提炼，联网知识结构

在传统的教学过程中，教师往往只注重对课本知识的讲解，而忽略了学生对知识结构的整体把握.这导致了学生在学习过程中缺乏系统性和连贯性.教师可以将课本同类习题进行归纳和整理，以同类习题的重组生长为路径，帮助学生感受知识之间的联系，进而建立起更加完整的知识结构.

案例1 同类习题

题1 （浙教版九年级上册第135页例3）已知：如图1，点D，E分别在AB，AC上，且AD/AB=AE/AC.求证：DE∥BC.

题2 （浙教版九年级上册第135页课内练习第2题）如图2，点D为△ABC的边AC上一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加什么条件？你有几种不同方法？

题3 （浙教版九年级上册第136页作业题第2题）已知，如图3，AB与CD交于点O，且AO/BO=CO/DO，求证：AC∥BD.

题2虽是开放式，但也只是就本课时的内容做了适当开放，为了让学生感悟相似的基本图形之间的联系，整体理解不同条件下采用的判定方法也不同，笔者进行如下习题教学.

问题 如图4所示，变换直线MN的位置，使其与△ABC的边或边的延长线相交，构建一个与△ABC相似的三角形，说说你的方法和理由.

师生活动：学生通过改变直线MN的位置，画出了以下不同的图形，并描述了每种图形判定相似的方法.

（1）当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，如图5；

（2）当∠DAE=∠CAB，AD/AC=AE/AB时，△ADE∽△ACB，如图6；

（3）当∠ADC=∠ACB时，△ADC∽△ACB，如图7；

（4）当DE∥BC时，△ADE∽△ACB，如图8；

（5）当∠ADE=∠ABC时，△ADE∽△ABC，如图9.

除了相似的判定，教材中还有很多利用相似的性质求角和边的问题，通过对比研究不难发现，这些基本图形贯穿始终.

题4 〔浙教版九年级上册第130页作业题第4题（2）〕如图10，在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a表示已知数，试分别确定α，x的值.

题5 （浙教版九年级上册第130页作业题第5题）如图11，已知△ABC∽△ACD，点D在AB上，已知AC=3 cm，AD=2 cm，求AB的长.

教材中的这两道题依旧是在上文总结的基本图形中计算，笔者延续上文的探索，继续设置了如下思考与追问.

思考：如图12，若△ADE与△ABC相似，你能根据图中的信息求出BC的长和∠B的度数吗？

追问：在问题解决的过程中，涉及了相似三角形的哪些知识？你能用结构图梳理一下吗？

师生活动：通过小组合作，学生呈现下面的结构图，如图13.

教学分析：通过设置开放式问题，学生在多种画法中自主构建基本图形.通过这样的习题设计，学生不仅学会了基本图形，还掌握了探索基本图形的方法，发展其几何直观和推理能力.

将教材不同课时有关联的习题通过重新优化整合，既体现了整体性教学的原则，又促进了学生构建知识网络的能力.

1.2 形似习题串珠成链，扩阈方法结构

教材习题中有很多图形类似的题，这些习题可以是同一课时，也可以是不同课时、不同章节但有相似的内涵和外延的题目.

案例2 形似习题

题1 （浙教版九年级上册第133页作业题第2题）如图14，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D.试写出图中的相似三角形.

题2 （浙教版九年级上册第133页作业题第5题）如图15，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°，BD是∠ABC的平分线.判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由.

这两道题均涉及了一种特殊的相似关系，形似但又有区别，题1涉及直角三角形，题2涉及一类特殊的等腰三角形.笔者结合条件的生长设置驱动性问题，帮助学生积累提出问题、解决问题的经验.

问题 如图16，若∠ACB=∠ADC=90°，图中有几对相似三角形？可以得到哪些比例关系式？

师生活动：学生先画出符合条件的图形，如图17，想到三组相似.

追问1：图形经历了怎样的变化？结论又有什么区别？

师生活动：学生从角的角度解释图形为从一般到特殊的关系，并且当角度设置为90°时，图形有三组相似.

追问2：若图16中的三角形均为等腰三角形，图中有几对相似三角形？当AB=10，则CD的长度为多少？

师生活动：学生先画出符合条件的图形，如图18，结合等腰三角形边的等量关系，采用设元法，利用相似三角形边的比例关系建立方程.

追问3：若将∠A改为钝角，图形又有什么变化？如图19，当AB=10，则CD的长度为多少？

师生活动：由图16到图18、图19是将边特殊化的过程，学生发现，虽然图形变了，但求边长的方法不变.

教学分析：通过将图形不断特殊化，学生明确了形似图形之间存在内在的关联，这些关联的知识在学生的脑海中“串成珠，横成链”，最终建立方法结构.

1.3 通法习题璧合珠连，构筑经验结构

教材中有很多问题相似、方法相通的问题，教师可创设实际情境，创造性地设置阶梯问题，学生在经历从解题到解决问题转变的同时，还能在多层次、多角度的问题中感悟通性通法，构筑经验结构.

案例3 通法习题

题1 （浙教版九年级下册第24页例6）如图20，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点A观测点D的俯角35°12′，点C的俯角为43°24，求这两幢楼的高度（精确到0.1 m）.

题2 （浙教版九年级下册第25页作业题第2题）小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（如图21所示），量得两幢楼之间的距离为32 m，问：大厦有多高？小玲家又有多高（结果精确到1 m）？

题3 （浙教版九年级下册第26页作业题第4题）如图22，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度（精确到0.1 m）.

上述三个问题背景相似，且刚好覆盖了两类常见的基本图形，在不同点看同一点（如图23），在同一点看不同点（如图24），题3可看作两类基本模型的整合（如图25），三个问题的解法有相通之处，又层层递进，基于上述分析，教师可抛出一个新情境作为项目化探索.

任务目标：测算发射塔的高度.

背景素材：某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN，如图26，他们通过自制的侧倾仪（如图27）在两个位置观测，第一个观测位置位于2楼的点B处，第二个观测位置位于5楼的点A处，每层楼高4 m（墙体厚度忽略不计），侧倾仪上的示数如图28所示.

问题解决：

任务一：计算A，B两点间的距离，并写出两处观测角的正切值.

任务二：计算楼与发射塔之间的水平距离.

任务三：计算发射塔的实际高度.

教学分析：教学过程中，学生读取示数进而写出观测角的正切值，体现了用数学的眼光观察现实世界.三个任务层层递进，不仅将课本涉及的三类基本问题进行整合，又能彰显计算方法的相通之处.因此，数学的解题不仅是解决一个问题，更是教给学生一种思考问题的方式，打通知识内部的联系，将零碎的知识结构化，总结解决问题的通性通法，积累解题活动经验.

1.4 关联习题重构凝练，深化思维结构

案例4 关联习题

题1 （人教版八年级上册第82页第2题改编）在如图29所示的正方形网格中，点A，B，C均在正方形网格的格点上，请你在网格中画△ABD，使△ABD与△ABC全等，且点D与C不重合，你能画出多少个？

师生活动：学生找出全等不难，难在找全.教师引领学生总结归纳，并点明将三角形进行平移、翻折、旋转变换后，所得三角形都与原三角形全等.

题2 （浙教版八年级下册第127页作业题第4题）已知：如图30，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF.求证：AE=BF.

师生活动：本题借助正方形背景，问题的本质依旧是构造并证明全等三角形，若将图30变式为图31，引导学生观察异同点，并思考证明路径的相同之处，学生易发现通过平移转化为图31.

追问：若F是CD的中点，如图32所示，证明DG=DA，并求sin∠GDA=_________.

师生活动：构造辅助线，如图33，容易证明图中除△DGH之外，剩下的三角形都相似，而且相似比都是1∶2∶5，通过计算可以知道sin∠GDA=4/5.

教学分析：笔者将教材中习题涉及到的平移、翻折、旋转方式联系到正方形全等问题中，并借助平移的理念将特殊情形变式为一般情形，由易到难，层层递进，设计驱动性问题，旨在让学生加强理解知识的关联，培养融会贯通的能力，拓展学生思维活动的深度和广度，进一步深化思维结构.

深度学习提倡知识、方法的关联和转化，打破教材中纵向知识和横向知识之间的壁垒，使知识之间实现了纵横交融，把一个个知识串联起来组成结构群[2].笔者以教材习题为基石，对教材中的同类习题、形似习题、通法习题、关联习题进行整合重组，旨在引导师生复习备考时要关注教材，重视教材经典习题的应用.

2 策略阐述

2.1 立足教材紧扣课标

教师组织课堂教学要以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为出发点和落脚点，必须以教材上的知识点为根本.教材例习题有很多经典题型，很多中考题也都能在教材中找到原型，教师不管进行怎样的教学创新，都要从教材知识点和例习题出发，深入探究可以拓展哪些知识以及怎样拓展[2].

2.2 整体理念建构体系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：从课程内容组织到教学建议都强调教学内容的结构化整合，整体把握教学内容之间的关联[1].教师可以打破原来单纯的讲题模式，以教材经典习题为载体，以建构为核心，关联为导向，驱动性问题为支架，在变式拓展中揭示知识之间的联系，形成知识、方法、经验、思维的结构化体系.

2.3 深度学习培育素养

培育素养需要教师转变教学方式，从传统的知识传授转向引导学生进行深度学习.教育者需要关注学生的学习过程，通过设置驱动性问题，鼓励学生主动探究、思考、实践，这种在数学学科的整体视角下建立关联性结构群，能让学生以深层次思维解决“万变”的生活实际问题[3].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学，2022.

[2]吴华君.立足教材夯实四基 拓展延伸提升素养——以源于课本习题的中考题为例[J].初中数学教与学，2023（5）：36-38.

[3]汪小莲，马振华.基于核心素养的几何单元整体教学实践研究——以“相似三角形”单元为例[J].数学教学通讯，2022（8）：29-31，53.