指向核心素养的高一数学作业优化设计

摘要：优秀的作业对于学生核心素养的提升有很大的帮助，如何以发展数学核心素养为目标、立足学生已有的认知水平优化作业设计是目前一线数学教师面临的一个挑战.本文中以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出的六大核心素养为航向标，以2019年人教A版高中数学必修第一册中“指数函数”一节为例进行作业优化设计.

关键词：核心素养；高中数学;作业优化设计;指数函数

项目信息：合肥师范学院研究生创新基金项目“核心素养引领下的高中数学立体几何单元整体教学构

建”，项目编号为2024yjs060.

1 研究背景

2021年7月，《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“双减”）的出台，旨在通过优化学校教育教学，优化教育教学方式，以求提升校内教学质量，减轻学生及家长的负担，着力推动基础教育健康协调发展.同时，“双减”政策还要求提升作业质量，提出教师要研究作业，改变机械作业以及无意义作业［1］.2024年3月7日，全国政协委员、郑州轻工业大学校长魏世忠提出要“协同推动（双减）政策落地落实”，再次提出要提升作业的质而不是追量［2］.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出通过数学的学习，能够培养学生的核心素养.数学学科核心素养包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.下面以2019年人教A版高中数学必修第一册中“指数函数”一节为例，设计指向核心素养的作业练习题.

2 研究意义

作业是落实“立德树人”的一块阵地，一道有价值的练习题可以使得学习事半功倍.从理论方面来看，通过对作业的优化，将相关的知识进行迁移和整合，以不同层次的题目展现出来［3］.从数学教育心理学角度来看，通过对作业的优化，可以帮助学生完善认知结构.从实践方面来看，通过对作业的优化，“增效不增量”，使得学生学习事半功倍.首先，通过作业的优化，学生除巩固本堂知识外，还能够进行迁移甚至创新，提高迁移能力和创新精神，提升核心素养；其次，通过作业的优化，可以减轻学生负担，减少重复性、机械性的作业，进一步推进“双减”政策的落地.

3 指向核心素养的作业优化原则

3.1 育人性原则

课标指出，数学承载着“立德树人”的主要任务，所以，作业的安排、题目的设计都要为学生的发展而服务，为培养学生核心素养服务.因此，育人性是作业设计优化的主要原则.

3.2 层次性原则

作业有着巩固基础、迁移创新、提升素养等作用，所以层次性对于作业的优化也是很重要的.作业的层次性不仅仅体现在难度上，更体现在基础-迁移-创新等不同思维层次上.

3.3 整合性原则

“双减”政策下，提倡“增效不增量”，因此，作业的题目要将知识有机结合起来，以核心素养为导向，设计适合学生发展的有效作业，题目在精不在多［4］.一道有价值的题目，对学生知识的学习、能力的提高、素养的完善等各个方面起着不可或缺的作用.

4 指向核心素养的作业优化策略

4.1 以课标为“帆”，立足课本，扎实基础

课程标准是教学的指南.首先，我们应该对课标进行挖掘，找到方向.然后再走进课本，研究每个例题、练习题设计的意义所在［5］.这样才能把握住学习的目标.例如，对于“指数函数”，课标中指出“要理解指数函数的概念，探索并理解指数函数的单调性和特殊点”，提出“指数函数的教学，要关注运算法则和变化规律”“借助有关增长率的实际问题理解指数函数模型”等.教材中的例题都突出了以上几点.此外，教材中的例题与练习题有着独有的意义，如：“衰减率”例题的设计，是为了以具体实例帮助学生理解指数函数模型；练习题中的比较大小问题，是对指数函数图象和性质的巩固，以及为不等式问题学习奠定基础.

4.2 以核心素养为“魂”，迁移整合，提升素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出通过数学的学习，能够培养学生的核心素养.数学学科核心素养包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.在设计作业时要时刻关注学生核心素养的发展，对知识进行迁移和有机整合，培养学生迁移能力，设计出指向核心素养的有效性练习题［6］.

4.3 以创新为“舵”，多元表征，培养思维

对学生创新精神和实践能力的培养是一个长期奋斗的目标，数学语言有文字语言、图形语言和符号语言，在设计作业时应该考虑到这一点，学生对题目的多元表征正是对题目理解程度的反映.所以，在设计作业时，也要融入数形结合、同构思想等题型，以便学生能够用文字语言、图形语言及符号语言进行多元表征.例如，在有关线面平行的的作业中，可以设计一些实际场景，让学生感受生活中的点线面，再通过画图来表达，最后用符号语言描述出来.再如，在函数的概念学习中，通过解析式、图象和表格三种方式表达函数.通过多元表征，有助于打开学生的思维，培养学生的创新思维，更好地促进学生核心素养的提升.

5 指向核心素养的“指数函数”课时作业设计

5.1 “指数函数”课时作业

（1）若函数y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指数函数，求函数g（t）=13mt2+1nt－1120的定义域和值域.

（2）设a为函数y=9t2－6t+1的零点，求函数f（x）=a4x+2×13ax+3的值域.

（3）设a为函数y=9t2－6t+1的零点，求函数f（x）=a－2x2+3x－5的单调区间.

（4）已知集合A=y|y=132x－31－x+2，集合B=x|y=1－2x，求A∩B.

（5）设函数f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，若对于任意x∈R，不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，求k的取值范围.

（6）已知集合A=x|ex－x2e≤0，集合B=x|xlt;0，求A∩B.

（7）解不等式ex+1－ee+xgt;e－1.

5.2 “指数函数”课时作业解析

（1）由函数y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指数函数，可得m2－6m+6=1，解得m1=1或m2=5.又2m－1gt;0且2m－1≠1，所以m=5.由3n+1=0，得n=－13.所以可得g（t）=135t2－3t－1120.故函数g（t）的定义域为R.

因为5t2－3t－1120≥－1且y=13x是减函数，所以0lt;g（t）≤3，即函数g（t）的值域为（0，3］.

（2）由9a2－6a+1=0，得a=13，所以函数f（x）=134x+2×13×13x+3，即f（x）=134x+2×19x+3=192x+2×19x+3，其定义域为R.令m=19x，则mgt;0，可求得函数f（x）的值域为（3，+∞）.

（3）由9a2－6a+1=0，解得a=13，所以函数f（x）=13－2x2+3x－5，其定义域为R.令t=－2x2+3x－5，则函数t=－2x2+3x－5的增区间为－∞，34，减区间为34，+∞，故函数f（x）=13－2x2+3x－5的减区间为－∞，34，增区间为34，+∞.

（4）y=132x－31－x+2可以改写成y=13x2－3×13x+2，设t=13x，则tgt;0.因为函数y=t2－3t+2图象的对称轴为t=32，所以当tgt;0时，y≥－14，即A=yy≥－14.由1－2x≥0，解得x≤0，即B=x|x≤0.因此A∩B=x－14≤x≤0.

（5）方法一：因为不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，要求k的取值范围，将式子变为2k－2≤f2（x）+g（x）恒成立.设函数h（x）=f2（x）+g（x），则2k－2≤h（x）min.将h（x）=（ex2）2+1e2x2变形为h（x）=e2x2+1e2x2.因为h（x）=e2x2+1e2x2≥2，当且仅当e2x2=1e2x2，即x=0时等号成立，所以2k－2≤2，即k≤2.

所以k的取值范围为（-∞，2］.

方法二：因为函数f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，所以g（x）=1f2（x）.由不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，可知不等式f2（x）－2k≥-1f2（x）－2，也即2k－2≤1f2（x）+f2（x）恒成立.因为1f2（x）+f2（x）≥2，当且仅当f2（x）=1f2（x），即x=0时等号成立，所以2k－2≤2，即k≤2.所以k的取值范围为（-∞，2］.

（6）要求A∩B，即当xlt;0时，解不等式ex－x2e≤0，将其变形为ex+1≤x2，利用交轨法可知x≤－1.故A∩B={x|x≤－1}.

（7）不等式ex+1－ee+xgt;e－1可变形为ex+1+x+1gt;ee+e.设函数f（x）=ex+x，因为函数f（x）=ex+x在R上单调递增，又ex+1+x+1gt;ee+e，则f（x+1）gt;f（e），所以x+1gt;e，即xgt;e－1.所以x的取值范围为（e-1，+∞）.

5.3 “指数函数”课时作业设计意图

（1）立足基础

作业设计首先要立足基础知识.指数函数中，概念、指数函数的图象和性质及其应用，都是需要夯实的基础知识.因此，在作业设计时要抓住知识根基.在本课时练习题中，对指数函数的概念、图象及性质都有考查，能够帮助学生夯实基础.

（2）重视迁移

从教育心理学的角度来看，迁移能力的提升，能够促进学生数学认知结构的建立，进而提升学习效果.在设计课时作业时，重视将指数函数与其他所学的知识、思想方法等建立联系，帮助学生进一步理解数学知识间的联系，进而帮助学生完善数学认知结构.在本课时作业中，设计了指数函数与集合、不等式、一元二次函数等知识相结合的题目，同时也融入了同构思想、换元思想、交轨法等思想方法.通过练习题的设计，帮助学生提升数学迁移能力.

（3）指向素养

数学核心素养是本课时作业的“魂”，课时作业的设计要以立德树人、培养学生数学核心素养为目标.在本课时作业中，第（1）题指向数学核心素养之数学运算和逻辑推理；第（2）（3）（4）题指向数学核心素养之逻辑推理和数据分析；第（5）（6）（7）题指向数学核心素养之数据分析和数学抽象.各题间有机结合，从不同层次、不同方面，多角度地提升学生的数学核心素养.

6 结语

笔者认为，“双减”背景下，指向核心素养的作业应该是以立德树人为首要目标，以核心素养为“魂”，富有育人性、层次性、整合性，是能够培养学生迁移能力和创新思维能力的练习题.

本文中以“指数函数”为例，通过七道课时作业题的设计，一方面减少了题量，另一方面对指数函数相关知识的涵盖面广，有探究价值，符合学生的最近发展区.基于学生已有的认知结构，设计了一份基于“双减”政策、指向核心素养的作业，通过对作业的优化设计，我们不难发现，作业也是提升学生核心素养的一块重要领地.所以，教师要对作业题目进行优化，这样才能够更好地培养学生的核心素养，才能更进一步推进“双减”政策的落地.

参考文献：

［1］陈传东，赵兰，王浪.“双减”背景下初中数学作业的批改与辅导［J］.教学与管理，2022（10）：39-41.

［2］张竞昳.全国政协委员魏世忠：协同推动“双减”政策落地落实［N］.郑州日报，2024-3-7（5）.

［3］喻平，胡晋宾.CTI模式：知识迁移应用的教学策略［J］.数学通报，2023，62（11）：1-6，28.

［4］喻平.核心素养指向的数学作业设计［J］.数学通报，2022，61（5）：1-7，12.

［5］潘虹.基于学生发展核心素养的初中数学作业设计［J］.教学与管理，2017（22）：45-46.

［6］王学男，赵江山.“双减”背景下作业设计的多维视野和优化策略［J］.天津师范大学学报（社会科学版），2022（2）：38-44.