深度学习 铸就活力课堂

引导学生深度学习，铸就活力课堂，是落实新课标指向的重要路径.深度学习是相对于浅层次学习而言的.所谓数学深度学习，是指学生在教师的引导下，围绕具有一定难度且具有一定挑战性的数学主题展开学习和深层次的探究，在整个过程中学生都能全身投入并体验成功.“活力”是活力课堂的落脚点，充满活力的课堂往往能引发笑声，并能激发探究的欲望，探究过程中，必然会有互相交流的讨论声，当探究成功分享喜悦时，必然会引发阵阵掌声.因此，笔者以为，笑声、讨论声和掌声是数学活力课堂的重要体现.基于此，本文中以“探究函数y=x+1x的图象与性质”为例，展示引导学生深度学习、铸就活力课堂的具体实施，与大家交流.

1 学习内容及学习目标

深度学习内容：探究函数y=x+1x的图象与性质.

选材说明：本内容取材于现行普通高中教科书人教A版数学必修第一册第92页的“探究与发现”.本内容虽然不隶属课本正文，却是引领学生感悟函数与图象的好素材.

深度学习目标：（1）通过对函数y=x+1x的图象的探究与性质的研究，感悟数形结合思想，深刻领会图象特征与函数性质的内在联系，并能应用探究结果解决相关问题.（2）通过探究初步掌握数学研究的基本方法，提高数学素养，培养数学情感.

2 教学过程

2.1 回顾旧知，引发新知与认知冲突

师：函数图象，能让函数的性质一览无遗，因此，研究函数往往先研究它的图象.初中时，我们已经学习了函数y=x和y=1x，并且知道它们的图象分别是直线与双曲线，那么把它们相加后得函数y=x+1x，它的图象还是直线或双曲线吗？请大家利用初中所学的描点作图法，画出当xgt;0时，这个函数的图象.

教师巡视，发现学生画图不得要领，画出的图象各不相同.于是教师加以引导.

师：作函数图象，一般要抓住几个关键点.一是函数何时取得最大值或最小值；二是函数在哪些区间上单调递增或单调递减；三是函数图象的变化趋势.

图1

一语惊醒梦中人.依据刚学过的基本不等式和函数的单调性，学生马上找到了函数图象的最低点（1，2）和函数的单调区间，其中（0，1）是减区间，（1，+∞）是增区间.于是得到图1.

2.2 抓住特征，完善图象并提升认知

师：经过探究，我们知道当xgt;0时函数y=x+1x的图象的形状像对勾，请问同学们，如果在同一个坐标系中画出函数y=x的图象，这两个函数的图象会相交吗？

生1：因为当xgt;0时y=x+1x＞x，所以y=x+1x的图象不会与y=x的图象相交，而且它永远位于直线y=x的上方.当自变量x趋向于无穷大时，1x趋向于0，所以函数y=x+1x的图象的变化趋势是无限接近于直线y=x.

师：回答得很好！（学生掌声响起.）

师：我们把直线y=x称为函数y=x+1x图象的渐近线.你还能看出哪条直线是函数y=x+1x图象的渐近线？

生2：y轴，即直线x=0也是它的渐近线.因为这个函数的定义域为{x|x≠0}，所以y=x+1x与y轴不相交，又因为当自变量x趋向于0+时，1x趋向于正无穷大，所以函数y=x+1x的图象也无限逼近于y轴.（学生掌声再次响起.）

师：刚才我们已经研究了当xgt;0时函数y=x+1x的图象特征，那么当xlt;0时，它的图象又该如何画呢？

生3：因为函数y=x+1x的定义域为{x|x≠0}，且满足f（x）+f（－x）=0，所以它是奇函数，于是依据对称性，即可画出当xlt;0时函数的图象.

图2

师：好！请大家画出函数y=x+1x在定义域{x|x≠0}内的图象，并同时画上渐近线.

经过以上探究，学生很快画出了函数y=x+1x在定义域{x|x≠0}内的图象，如图2.

2.3 改变系数，深入探究完善知识结构

师：刚才我们研究了函数y=x+1x的图象，并结合图象知道了它的一系列性质.如果把这个函数改为y=x+4x，你会研究它的图象与性质吗？请同学们分组探究.

5分钟后，同学们交流探究结果.学生发现这个函数的图象依旧是“两个对勾”，奇偶性与定义域没有改变，但值域和单调性发生了变化，这个函数的值域是（－∞，-4］∪［4，+∞），单调增区间有（－∞，－2）和（2，+∞），单调减区间有（－2，0）和（0，2）.

师：如果把这个函数改为y=2x+8x，情形又如何呢？

生4：只需把它变形为y=2x+4x就可以发现，这个函数与y=x+4x有着“惊人相似的模样”，即值域发生了改变，其他都没有变化.该函数的值域是（－∞，-8］∪［8，+∞）.

师：回答得很好！解决数学问题的根本在于转化，把陌生的问题转化为熟悉的问题.下面请同学们探究函数y=ax+bx（a，bgt;0）的图象与性质.

学生再次合作，先把函数y=ax+bx化为y=ax+bax，进而利用几何画板画出它的图象，如图3所示.

图3

对于函数f（x）=ax+bx（agt;0，bgt;0），当xgt;0时，f（x）=ax+bx≥2ab（当且仅当ax=bx，即x=ba时等号成立）；当xlt;0时，f（x）=-（-ax）+-bx

≤-2ab（当且仅当ax=bx，即x=-ba时等号成立）.

所以得到图象的顶点坐标Aba，2ab，B-ba，-2ab.

结合图象，得到函数y=ax+bx（a，bgt;0）的如下性质：

（1）定义域：{x|x≠0};

（2）奇偶性：奇函数；

（3）单调性：单调递增区间为－∞，－ba，ba，+∞，单调递减区间为－ba，0，0，ba；

（4）值域：（－∞，－2ab］∪［2ab，+∞）.

2.4 变号再探，把深度学习引向课外

师：刚才经过大家的群策群力，我们从y=x+1x入手，成功研究了一类形如y=ax+bx（a，bgt;0）双勾函数的图象与性质，那么a与b异号时，这个函数的图象与性质又如何呢？请大家课后探究函数y=x－1x的图象与性质.

3 一点体会

深度学习，既是学生的学习行为，也是教师的教学行为，只有把教与学紧密联系起来，才能实现深度学习的目的.对于这类课型，有效的问题设置十分重要，因为有效的问题才能使学生的探究有章可循，进而体现教师的主导作用和学生的主体地位，更能体现“教学相长”的教学原则.

深度学习的内容，应该灵活多变.教师应该做到尊重教材，但不拘泥于教材，一切从学生的认知出发.每一节课所学的内容，既要注重基础性，因为它是深度学习的前提与保障，更要注重知识与方法的拓展性，因为它是深度学习的目的与归宿.深度学习不仅仅体现在课堂上，也应该体现在课外，只有这样，才能让深度学习成为学生探究数学世界的习惯.

活力课堂，讲究的是互动，但必须以深度学习为平台，如果离开了这个平台，那么活力课堂只能是一种形式，它对学生的思维发展和探究能力的培养毫无益处.因此，深度学习是铸就活力课堂的必要条件.