类比推理在高中数学教学中的应用研究

摘 要：高中数学课程提倡类比推理。教师可以通过类比推理，丰富学生的探究学习过程，提升高中数学教学效果。文章参考人教版高中数学教材的部分教学内容，从原则、时机、技巧三个角度，分析类比推理在高中数学教学中的应用，提出在启发、探究、多样的前提下，让类比推理覆盖初始学习、知识生成、总结梳理、解决问题。同时，引导学生形成类比推理意识，提高学生的类比推理能力，培养学生的类比推理习惯，为学生自觉类比推理更多数学知识奠定坚实基础。

关键词：高中数学；类比推理；教学研究

类比推理是一种特殊的归纳推理，也是一种重要的数学思想。在数学的研究和发展过程中，人们逐渐发现一些事物存在相似性。进而，以两个或两类事物在某些属性上的相似为依据，推导它们在其他属性上的相似性，称作类比推理。在高中数学教学中应用类比推理，让数学思想促进探究学习，有效提升学生的思维水平，发展学生的学习能力和问题解决能力。教师应准确把握类比推理在高中数学教学中的应用时机，采取不同的类比推理方法，启发学生深化探究学习。这也需要学生形成类比推理意识，具有一定类比推理能力，养成自觉类比推理的良好习惯。

一、类比推理在高中数学教学中的应用原则

类比推理在高中数学教学中的应用，是启发学生探究学习的重要手段。并且，根据不同的探究学习需求，类比推理形式不唯一。教师应坚持启发性原则、探究性原则、多样性原则，协调类比推理在高中数学教学中的具体应用。

（一）启发性原则

高中数学教学不应是简单地传授知识，而是应该启发学生思维。类比推理引导学生从已知到未知、从熟悉到陌生，通过寻找不同信息的相似性和共通点建构新的概念，是启发思维的一种手段。故而在高中数学教学中应用类比推理，应坚持启发性原则，使学生从不同角度对比和分析问题，完成主动思考。此外，基于启发性原则，在类比推理的过程中鼓励学生提问，使学生避免盲目地接受他人观点，形成批判思维。

（二）探究性原则

探究是高中数学教学的本质要求。研读《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订，下面简称《课程标准》），其指出教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，引导学生独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等。独立思考、动手实践等，都是探究学习的具体表现。类比推理在高中数学教学中的应用，同样应注重学生的探究学习[1]。教师应通过类比推理，为学生提供自主探究知识的平台，让学生能基于已有知识和经验，充分体会探究学习过程，实现核心知识的自主建构。

（三）多样性原则

类比推理的形式具有多样性。如基于生活情境、数学实物等，直观落实类比推理，化抽象学习为形象探究；在数学图形、数学思想等辅助下，抽象展开类比推理，将感性认识转化为理性认识；整合关联知识，在新旧知识的迁移中进行类比推理；举一反三、建立模型，在解决问题中渗透类比推理。高中数学教学内容同样具有多样性，要求学生在掌握基础概念的基础上，感悟一些思想方法，能够运用学习内容解决简单的实际问题。为此，想要实现类比推理在高中数学教学中应用，还需要坚持多样性原则。

二、类比推理在高中数学教学中的应用时机

高中数学教学的完整过程，包括认识基础概念、掌握深层知识、建构知识框架、解决具体问题。为此，把握类比推理在高中数学教学中的应用时机，有必要根据教学内容的实际特点，让类比推理覆盖初始学习、知识生成、总结梳理、问题解决环节。

（一）在初始学习中类比推理，建立感性认识

在初始学习中类比推理，降低高中数学知识的理解难度，激发学生的学习兴趣。具体而言，高中数学知识具有抽象性，从而使部分学生产生畏难情绪。而通过恰当的类比推理，能够将抽象知识与具体事物联系在一起，让学生在直观分析中快速建立感性认识，提高好奇心和求知欲。教师可以利用生活情境、数学实物等，打造生动的类比推理环境，让学生在初始学习中，独立落实直观类比推理。

比如，人教版高一数学必修第一册《集合间的基本关系》一课，教师可以在初始学习中，围绕生活中的集合创设图书管理情境，启发学生由图书管理中的集合类比推理数学中的集合。具体情境如下：图书馆中拥有海量的书籍，包括文学类书籍、科学类书籍、历史类书籍、艺术类书籍等。管理员将这些书籍精心分类，摆放在不同书架上。如果你有机会体验一日图书管理员，你将怎样为图书分类？

按照一定规律将图书分类，就是寻找图书中的集合关系。比如，文学类书籍、科学类书籍、历史类书籍、艺术类书籍等，都是图书馆总藏书籍的一部分。如果将图书馆的总藏书籍视作一个大集合，这些书籍就是图书馆总藏书籍的子集。现代文学、古代文学、外国文学都是文学类书籍分类之一，故而将其视作不同的小集合，每个集合都是文学类书籍的真子集。现代文学与外国文学还存在交叉关系，如现代外国文学。以集合的语言描述这一分类，现代外国文学即为现代文学与外国文学的交集。

教师可使学生自主讨论情境，发现图书分类与集合关系的内在联系，实现子集、真子集、交集、并集等知识点的直观类比推理。另外，通过生活化的类比推理，使学生认识到现实生活与数学知识的密切联系，有助于学生在未来学习中，自觉观察生活中的数学现象，深化生活化学习行为。

（二）在知识生成中类比推理，升华理性认识

在知识生成中类比推理，促进学生对新知识的深入理解，帮助学生将感性认识升华为理性认识。具体而言，高中数学的探究学习过程，应当是一个将感性认识不断上升为理性认识的过程。类比推理作为一种有效的思维工具，也是帮助学生跨越知识鸿沟的重要手段。教师可以通过数形结合、挖掘相同的学习方法等，启发学生进行更深层次的类比推理，让学生由形象感知向抽象探究自然过渡[2]。

比如，人教版高一数学必修第一册《对数函数》一课，需要使学生在了解对数函数概念的基础上，掌握对数函数的基本性质，包括定义域、值域、对称性、增减性。教师可以从对数函数的图像切入，启发学生类比推理。

首先，教师可以列举常见的对数函数，使学生根据其表达式，讨论和猜想相应的函数图像。其次，教师可以引导学生自主列表、描点、绘制函数图像，观察和总结其主要信息。最后，教师可以鼓励学生举手发言，自主分享以下内容：当对数的“底”在0和1之间，函数图像单调递减。当对数的“底”大于1，函数图像则单调递增。无论对数的“底”为任何数，函数始终在其定义域内，经过定点（1，0），存在值域R。

通过“数”“形”类比推理，使学生自主经历知识的生成过程，建立有关对数函数的理性认识。而这样的类比推理方法，也是探究指数函数的主要方法。教师还可以在教学过程中，通过口头语言提示学生回顾指数函数的学习过程，以此丰富其类比推理，使其感悟函数学习的共通性。

（三）在总结梳理中类比推理，建构知识框架

在总结梳理中类比推理，意在使学生强化记忆与关联，提高理解深度，加强知识整合。高中数学知识具有严谨的知识框架，故而在总结梳理中类比推理，使学生不断建构完整的知识框架，进一步提升高中数学教学水平。教师应特别重视总结梳理中的类比推理，启发学生将零散的知识点串联起来，建构层次分明、条理清晰的知识网络。

比如，人教版高二数学选择性必修第一册《抛物线》一课，教师可挖掘抛物线的本质内涵，以“圆锥曲线”为线索，启发学生纵横分析关联知识。具体而言，本课定位于教材第三章，全章共有“椭圆”“双曲线”“抛物线”三节教学内容，任意一节教学内容都是圆锥曲线的重要组成部分，有助于其他两节内容的探究学习。教师可在本课探究学习中，及时引导学生回顾旧知，启发学生类比推理三种圆锥曲线的基本定义、标准方程、主要性质、几何意义等。

通过类比推理可知，三种圆锥曲线都是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）距离之比为常数（但抛物线的这个常数为1）的点的轨迹；三种圆锥曲线方程均可视为二次曲线，具有相似的解析表达结构；三种圆锥曲线都有顶点和对称轴。进而，通过树状图、网状图等，整理类比推理结果，归纳三种圆锥曲线的异同，建构圆锥曲线的完整知识框架，增强学生对全章知识的记忆效果。

（四）在问题解决中类比推理，深化实践能力

在问题解决中类比推理，提高学生的解题效率，使学生能够触类旁通，深化实践能力[3]。具体而言，《课程标准》指出：“数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面”。数学的广泛应用使其成为解决问题的重要工具，高中数学的教学过程应系统培养学生的问题解决能力，使学生能在日后灵活参与社会实践，运用学习内容解决实际问题。此外，在解决问题的过程中，自觉总结相似方法，建立先进的问题解决模型。教师可以通过习题测验、变式训练等，启发学生发散问题解决思维，在类比推理中深化实践能力。

比如，人教版高一数学必修第二册《复数的四则运算》一课，需要学生运用复数的加减运算和乘除运算，解决各种各样的实际问题。教师可以多元开发习题，通过变式训练渗透类比推理。具体以“复数的加、减运算及其几何意义”为例，为使学生灵活运用复数的加、减运算及其几何意义解决向量问题，教师可以教材例2为原型，收集更多习题资源，设置课堂训练活动，启发学生类比教材例2的解题思路，推理更多习题的解题方法。最后，细致讲解错题，引导学生整理错题资源，并以典型错题为切口，类比推理更多错题的解题误区和修正方法。

教材例题、课外习题、错题资源相互促进，使学生从解决问题到反思错题，进行大量的类比推理，建立复数的加、减运算及其几何意义与向量问题的解题模型，深化实践能力。

三、类比推理在高中数学教学中的应用技巧

类比推理在高中数学教学中的应用，需要教师对学生的指导，也需要调动学生的自觉意识[4]。为此，教师应带领学生深入了解类比推理的内涵，帮助学生树立正确的类比推理意识。紧接着，丰富类比推理训练，加强类比推理反馈，持续提高学生的类比推理能力，使学生形成类比推理习惯。

（一）了解类比推理内涵，树立类比推理意识

类比推理在高中数学教学中的应用，单单重视教师的启发远远不够。唯有使学生真正认识到类比推理的重要性，树立类比推理意识，方能在更多高中数学教学中，顺利应用类比推理。为此，教师应采取生动、直观的方式，带领学生了解类比推理内涵。

比如在高一初始教学中，先出示类比推理的真实案例，再讨论类比推理的重要性。相较于直接向学生说明类比推理内涵，以真实案例为载体促进学生的自主分析和热烈讨论，更有助于学生多角度分析类比推理的重要性。进而，鼓励学生大胆发言、相互说服，深刻认识到类比推理的探究学习作用，树立正确的类比推理意识。在日后更多数学活动中，学生都能调动类比推理意识，自觉进行类比推理。

（二）丰富类比推理训练，提高类比推理能力

从高一阶段到高三阶段，高中数学知识的难度系数不断增加。故而将类比推理应用于高中数学教学，应基于学习内容的难度变化，不断提高学生的类比推理能力[5]。这要求教师根据教学内容的实际特点，让类比推理覆盖学习活动，持续引导学生感受类比推理方法，总结类比推理经验。

上述初始学习、知识生成、总结梳理、问题解决中的类比推理，即为丰富类比推理训练的有效方案。此外，教师还可以设计类比推理的专项训练活动，衔接课前预习、课堂学习、课后复习，扩大类比推理的教学空间，借助在线教学平台发布微课视频，特别引导学生学习类比推理方法。类比推理训练丰富多样，带给学生充足的类比推理经验，使学生循序渐进地提高类比推理能力，优化探究学习。

（三）加强类比推理反馈，培养类比推理习惯

在学生完成类比推理任务后，教师应及时给予评价，指出其推理过程中的亮点和不足。特别是对于正确的类比推理，要给予充分肯定和表扬，增强学生的自信心和成就感。通过及时反馈和充分肯定，使学生在类比推理期间不断获得正向的情感反馈，促进其类比推理习惯的培养。

此外，教师还可以设立类比推理之星、最佳类比案例等奖项，鼓励学生积极参与类比推理活动，形成良性的竞争氛围，以此培养学生类比推理习惯。久而久之，使学生“习惯成自然”，主动坚持以类比推理深化高中数学探究学习。

结束语

总而言之，类比推理在高中数学教学中的应用，首先需要坚持启发性原则、探究性原则、多样性原则。其次，准确把握类比推理时机，在初始学习、知识生成、总结梳理、问题解决中，广泛应用类比推理，让类比推理覆盖高中数学教学。最后，帮助学生形成类比推理意识，使学生提高类比推理能力，形成类比推理习惯，能够自觉运用类比推理方法，探究更加复杂的数学问题。

参考文献

[1]孙启柱.类比推理法在高中数学教学中的应用研究[J].数学学习与研究，2023（34）：134-136.

[2]吕雪梅.高中数学教学中类比推理应用研究[J].基础教育论坛，2023（20）：92-94.

[3]王维芳，徐纪礼.类比推理在高中数学教学中的作用及应用方法[J].数理天地（高中版），2023（9）：51-53.

[4]熊丽丽.类比推理在高中数学教学中的作用及培养策略研究[J].数学学习与研究，2023（11）：38-40.

[5]洪云云.通俗易懂精准施教：类比推理在高中数学教学实践中的应用[J].数理化解题研究，2023（6）：32-34.