函数与方程携手，难题迎刃而解

摘要：函数与方程是初中数学中非常重要的概念，二者之间联系紧密.其中解方程可以看作求函数值为0时的自变量的值，认识到这一关系，可以解决初中数学中的很多难题.初中数学教学中，教师应注重与学生一起深度探寻函数与方程之间的关系，展示如何运用函数与方程解答难题，帮助学生提高解题能力.

关键词：初中数学；函数与方程；难题；解答

函数与方程是初中数学的重要内容.围绕函数与方程可以创设不同的习题情境.部分习题情境难度较大，为更好地找到解题思路，往往需要将函数与方程相互转化.函数与方程如何转化，转化后该如何处理关系是解题成功与否的关键[1].教学中，教师既要通过不断强调，增强学生的函数与方程转化意识，又要在具体习题情境中，展示函数与方程转化的具体过程，给学生以后更好地解题带来启发.

1 求参数取值范围

求参数取值范围是初中数学最常见的习题类型.由于考查的知识点不同，采取的解题思路也有所区别.其中对于函数或方程习题，需要根据题意通过函数与方程之间的转化寻找突破口.

例1 已知直线x=－1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴.该抛物线和x轴交点间的距离为4，若方程ax2+bx+c=a－2有两个不相等的实数根x1，x2，且－3lt;x1≤－2，则a的取值范围是.

解析：根据已知条件求出a，b，c三者之间的关系，通过代换减少参数个数，而后将方程转化为函数，运用函数图象与x轴交点的范围，构建不等式组进行求解.当然由于转化后抛物线的开口方向不确定，应注意进行分类讨论.

根据直线x=－1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，得到－b2a=－1，则b=2a.由该抛物线和x轴交点间的距离为4，可知其过点（1，0），（-3，0），将点（1，0）代入y=ax2+bx+c，得到a+2a+c=0，则c=－3a.

方程ax2+bx+c=a－2可以转化为ax2+2ax－4a+2=0.令y=ax2+2ax－4a+2，则其对称轴为直线x=－1.因为方程有两个不相等的实数根x1，x2，且－3lt;x1≤－2，则Δ=4a2－4a（－4a+2）=a（20a－8）gt;0.又当x=－3时，y=－a+2；当x=－2时，y=－4a+2.

由于抛物线的开口不确定，因此需要分类讨论：

①当agt;0时，有20a－8gt;0，－a+2gt;0，－4a+2≤0，解得12≤alt;2.

②当alt;0时，有20a－8lt;0，－a+2lt;0，－4a+2≥0，无解.

综上，满足题意的a的取值范围为12≤alt;2.

2 求最值

求最大值或最小值在数学中统称为求最值问题[2].在初中阶段，求有关函数与方程的最值问题一般较为抽象，难度较大，既要厘清函数与方程之间的关系，又要深入把握函数图象特征，通过合理的想象、认真的推理，确定求最值时的情境，而后计算出结果.

例2 已知x1，x2是方程x2－（m+3）x+m+6=0的两根，且满足1lt;x1≤2lt;x2，则二次函数y=x2－（m+3）x+m+6的顶点纵坐标的最大值为.

解析：题干给出的情境并不复杂，但深入考查了方程和函数之间的关系.解答的过程中，需要能够想象出函数图象处在何种情境时的顶点最高，而后代入所给参数得出结果.

因为方程x2－（m+3）x+m+6=0有两个不相等的实根，所以Δ=［－（m+3）］2－4×（m+6）=（m+5）（m－3）gt;0，则mlt;－5或mgt;3.

又1lt;x1≤2lt;x2，可得x1+x2=m+3gt;3，则mgt;0，从而mgt;3.

由于二次函数y=x2－（m+3）x+m+6=x－m+322－（m+1）24+4

，则函数图象的对称轴为直线x=m+32gt;3，顶点为m+32，－（m+1）24+4.该二次函数图象的开口大小一定，随着m的增大，顶点逐渐向右下方移动.

当x1=2时，图象的顶点最高，此时过点（2，0）.将点（2，0）代入函数y=x2－（m+3）x+m+6中，得到4－m=0，即m=4，所以顶点纵坐标的最大值为－（m+1）24+4=－（4+1）24+4=－94.

3 解方程

不少学生对解方程问题非常熟悉，无论是一元一次方程，还是二元一次方程几乎没有太大难度.但是部分习题并未直接给出未知数的系数，要求利用函数与方程之间的关系进行求解.针对这样的问题，需要通过审题对函数、方程进行巧妙转化，借助二者之间的联系，探寻参数之间的内在关联，以达到顺利求出未知数的目的.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有A（0，0.3），B（3，1），C（2，0.3）三点，则方程ax2+bx－0.7=0的解为.

解析：题干所给的二次函数与方程有着紧密的联系.解题时应注意搭建二者联系的桥梁，通过推理、转化求出方程其中一个解后，还应从函数视角对方程的解进行审视，借助函数的对称轴推理出方程的另一个解.

由A（0，0.3），B（3，1），C（2，0.3）三点在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上，得c=0.3，图象的对称轴为直线x=0+22=1，则y=ax2+bx+0.3.

由方程ax2+bx－0.7=0，得ax2+bx+0.3=1.由点B（3，1）为二次函数y=ax2+bx+0.3图象上的点，可知x=3是方程ax2+bx+0.3=1的一个解，也是方程ax2+bx－0.7=0的一个解.

设方程ax2+bx－0.7=0的另一个解为m，则根据题意可得3+m2=1，解得m=2－3.由此可见，方程ax2+bx－0.7=0的解为x=3或2－3.

4 求参数值

求参数的值在初中数学各类测试及中考中常考常新[3].其中以函数、方程为背景的求参数值问题往往具有一定难度，需要学生具备一定的理解及推理能力，尤其是对于一些较新颖的问题情境，需要学生提高综合运用函数与方程的意识，并结合函数图象进行分析，使得问题得以顺利解决.

例4 对于实数a，b，定义运算“*”：ab=a2－ab（a≤b）；ab=b2－ab（agt;b）.若关于x的方程（2x－3）（x－2）=m恰好有两个不相等的实数根，则m的值为.

解析：题干给出的是新运算，解题的关键在于对新运算的正确理解.事实上，可以根据所给的例子直接进行套用，对方程的一边进行化简.同时，结合方程恰好有两个不相等的实数根，将方程转化为两个函数图象的交点问题，认识到这一点，问题便不难解决.

基于对运算“*”的理解，对于（2x－3）（x－2），当2x－3≤x－2，即x≤1时，（2x－3）（x－2）=（2x－3）2－（2x－3）（x－2）=2x2－5x+3；当2x－3gt;x－2，即xgt;1时，（2x－3）（x－2）=（x－2）2－（2x－3）（x－2）=－x2+3x－2.令y=（2x－3）（x－2）=2x2－5x+3（x≤1），－x2+3x－2（xgt;1），并令y=m，画出y=（2x－3）（x－2）和y=m的图象，如图1所示.

由图1可知，当m=0时满足题意；当m取函数y=－x2+3x－2（xgt;1）的最大值时，也满足题意.即x=32时ymax=14，此时

m=14.

综上，满足题意的m的值为0或14.

综上所述，解答二次函数或一元二次方程问题，将函数与方程进行针对性的转化是常用的思路.当然，这种转化应基于对二者关系的深入理解，认识到转化的目的在于更好地解决问题，提高转化的针对性与目的性.为使学生把握转化的细节与技巧，教师应结合教学进度，与学生一起剖析典型的习题，助力提高学生解答初中数学难题的能力.

参考文献：

[1]王积香.初中数学综合题中的函数与方程式的解题技巧与方法[J].数理天地（初中版），2024（11）：12-13.

[2]王炜煜.初中数学支架式教学思考——以“方程与函数”为例[J].理科爱好者，2024（1）：43-45.

[3]左爱娟.初中数学教学渗透函数与方程思想的策略[J].中学教学参考，2017（35）：24-25.